ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Деформации и напряжения, возникающие в круглой трубе из упругого материала под действием внутреннего и внешнего давлений (задача Ламе) из "Механика сплошной среды. Т.2 " Рассмотрим круглую цилиндрическую трубу из упругого материала, подчиняющегося закону Гука. Требуется найти напряжения и деформации в стенках трубы при условии, что она находится под действием внутреннего Ра и внешнего рь давлений при постоянной температуре Т = То, соответствующей отсутствию температурных напряжений при отсутствии деформаций, которую назовем равновесной . [c.332] Концы трубы закреплены так, что перемещения вдоль ее оси отсутствуют, а перемещения в поперечном направлении ничем не стеснены (рис. 110). [c.333] Пусть известно, что, когда Ра — Рь деформации и напряжения в стенках трубы отсутствуют. Примем это состояние за начальное, тогда еу = 0 и существуют перемещения ги от начального состояния к рассматриваемому деформированному, возникающему при и не равных нулю. [c.333] Получим теперь выражения для компонент тензора напряжений, пользуясь законом Гука. [c.335] Формулы (4.2), (4.3), (4.6) и (4.7) позволяют найти деформации и напряжения в любой точке стенки трубы. [c.336] Отсюда видно, что при положительных р и рь величина всегда отрицательна, т. е. частицы трубы испытывают вдоль оси г сжатие. Знаки рее и р зависят от соотношения между paViPb- Рассмотрим сначала случай, когда р(, = 0. [c.337] Наиболее опасными напряжениями являются в данном случае растягиваю-ш ие (положительные) напряжения Р09, так как они могут вызвать появление трещин и разрушение трубы. Растягивающие напряжения Ргг всюду Меньше, чем Рев. [c.337] Максимальные по величине напряжения (при Ра 0) возникают на внутренней поверхности трубы. Поэтому при повышении внутреннего давления на внутренней поверхности трубы прежде всего могут произойти пластические деформации или возникнуть трещины. [c.337] Рассмотрим, насколько улучшаются ус-Влияние толщины стенок ловия работы стенок трубы при увеличении толщины стенок (выгодно ли увеличивать толщину стенок трубы ). Зафиксируем величину а и исследуем изменение наиболее важной величины рее(г = я) в зависимости] от внешнего радиуса Ъ, считая по-прежнему, что pi, = б. [c.337] Изменение Рев ( = а) при увеличении Ь показано на рис. 112. [c.338] Следовательно, при увеличении толщины стенки довольно быстро наступает такое положение, что дальнейшее сильное увеличение Ь приводит к малозаметному уменьшению разрывающего напряжения рее (г = а). Поэтому большое увеличение толщины стенок не дает существенного увеличения прочности трубы. [c.338] Формулы (4.8) показывают, что рее и р уменьшаются, если отлично от нуля внешнее давление р . При этом распределение напряжений в стенке трубы становится более равномерным (см. рис. 111). Это приводит к мысли об использовании составных труб с внутренними напряжениями для того, чтобы существенно улучшить условия работы внутреннего слоя, не увеличивая общей толщины стенки составной трубы. [c.338] Однако это заведомо не так в рассматриваемом случае. [c.339] Решение (4.8) не годится здесь потому, что при его получении использовалось предположение о существовании непрерывных однозначных перемещений от начального ненапряженного состояния к деформированному. В данном случае можно получить действительно ненапряженное состояние во всех частях системы, если вытащить одну трубу из другой и убрать все внешние нагрузки. Мысленно разгрузку можно произвести без вытаскивания трубы, однако при этом нарушится однозначность перемещений, поэтому непрерывных однозначных перемещений к ненапряженному начальному состоянию в этом случае не существует. [c.339] Если в материале происходят только малые деформации и он подчиняется закону Гука, то дополнительные напряжения рч связаны с дополнительными деформациями такими же соотношениями, которые имеются для полных напряжений и деформаций. В этом случае в силу линейности задачи можно определять р по внешним нагрузкам так, как если бы начальных напряжений и деформаций не было. Внутренние начальные напряжения (а следовательно, и полные напряжения) можно определить, только если известна технология изготовления данной детали. [c.339] Если рассматриваемая задача нелинейна (относительные смещения не малы или напряжения связаны с деформациями нелинейными соотношениями и т. д.), то дополнительные (от внешних сил) напряжения и деформации нельзя определить, если начальные напряжения и деформации неизвестны. [c.339] Распределение полных напряжений в этом случае показано на рис. ИЗ. [c.340] В технике и, в частности, при изготовлении артиллерийских стволов широко используются конструкции с предварительными напряжениями, подобранными так, чтобы уменьшить неравномерность распределения напряжений при работе под внешними нагрузками. [c.341] Вернуться к основной статье