ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задачи об одноосном растяжении упругого бруса из "Механика сплошной среды. Т.2 " Следовательно, коэффициент а, входящий в выражения закона Гука, представляет собой коэффициент линейного расширения рассматриваемого материала. [c.321] С помощью (2.14) легко усмотреть, что коэффициент с, входящий в выражение (2.23) для свободной энергии линейного термоупругого тела, связан с теплоемкостью при постоянных деформациях. [c.321] Рассмотрим малые деформации цилиндрического бруса, сделанного из изотропного упругого материала, подчиняющегося закону Гука, и растягиваемого (или сжимаемого) вдоль оси с помощью заданной системы массовых или поверхностных сил. [c.321] Начнем с задачи о равновесии бруса прямоугольного поперечного сечения, при условии, что по торцам бруса приложены поверхностные силы (рис. 107). [c.321] В согласии со сказанным выше примем, что при Р = 0 ж Т = То получается состояние, соответствующее отсутствию внутренних напряжений и деформаций в брусе. Если это состояние принять за начальное, то получим — 0. Требуется найти напряжения, деформации и перемещения, возникающие в брусе под действием растягивающих сил (при Р 0) и сжимающих сил (при Р 0). [c.322] Эти уравнения для перемещений написаны в предположении, что деформации малы, они получаются после линеаризации соответствующих уравнений для конечных деформаций. [c.324] в них входят только вторые производные компонент тензора деформаций. Так как найденные компоненты тензора деформаций (3.6) имеют постоянные значения, то уравнения (3.9) автоматически удовлетворяются. Очевидно, что условия совместности (3.9) всегда удовлетворяются и в том случае, когда компоненты тензора деформаций являются линейными функциями декартовых координат. [c.324] При бесконечно малых относительных перемеш ениях, т. е. при бесконечно малых значениях дю дх , эти условия означают равенство нулю компонент тензора деформаций гц. [c.326] В рассматриваемом случае бесконечно малых относительных смеш ений компоненты вектора а малы и определяют собой малый поворот тела, происходящий при перемещениях =Фо-Ь Х V. Вектор малого поворота можно связать вектором вихря о) формулой а = л А1. [c.326] Заметим, что выполнение этих условий не означает, что рассматриваемая точка действительно закреплена в пространстве с помощью сил. Если тело находится в равновесии, то, не меняя системы внепших сил, можно считать закрепленной любую (но в общем случае единственную) точку тела. При этом не интересующая нас часть перемещений и поворота исключается из рассмотрения. Очевидно, что выражения для перемещений будут различными, если мы будем считать неподвижными различные точки тела. [c.327] Брус растягивается силами, приложенными на его торцах А ш В ш направленными по оси X, но, как видно из (3.17), частицы бруса испытывают перемещения также и вдоль осей у и 2. [c.327] Рассмотрим теперь задачу о растяжении цилиндрического бруса под действием собственного веса. При этом сохраним неизменными основные предположения, при которых решалась первая задача о растяжении бруса под действием поверхностных сил, распределенных по его торцам, а именно предположим, что Т = То = = onst, e j-= о, но F = gi и = 0 всюду на внешней поверхности бруса, за исключением торца А, где брус закреплен. [c.328] Напряжения на торце А определятся в результате решения задачи (рис. 109). [c.329] Плоские поперечные сечения бруса после деформации перестают быть плоскими. [c.332] Если для данного материала известно максимальное напряжение, которое он может выдержать при растяжении, то по формуле (3.31) можно оценить наибольшую длину троса или стержня из этого материала, при котором он не разорвется под действием собственного веса. Такие оценки необходимы, например, при расчете труб, которые опускаются в нефтяные скважины (в настоящее время имеются скважины глубиной 5—6 км и больше). [c.332] В точках верхнего торца бруса А имеются как вертикальные, так и горизонтальные перемещения. [c.332] Решение, строго говоря, справедливо только в том случае, когда полученные смещения допускаются способом заделки бруса. Однако по принципу Сен-Венана (см. ниже, 5) приближенно это решение может быть использовано, например, в случае жесткой заделки, если поперечное сечение бруса не слишком велико по сравнению с его длиной и, следовательно, влияние способа крепления верхнего сечения бруса мало сказывается на деформациях в основной его части. [c.332] Вернуться к основной статье