ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определение поля скоростей по заданным вихрям и источникам из "Механика сплошной среды. Т.2 " Ниже рассмотрим обратную задачу об определении векторного поля по заданной дивергенции и ротации искомого вектора. Многие теории в механике и физике вообще непосредственно связаны с предварительным заданием плотности источников и распределения вихрей при постановке задачи или эти характеристики поля определяются после разрешения вспомогательных уравнений. В связи с этим возникает важная проблема определения соответствующего векторного поля через величины е и ы. [c.268] Дальше ради терминологических удобств будем говорить о поле скоростей V, об объемных источниках е и о поле вихрей (й для движения сплошной среды. Развиваемая ниже теория имеет кинематический характер и не связана непосредственно со свойствами среды. Динамические и физические свойства среды могут существенным образом проявиться при задании функций е (х, у, 2, ) и са х, у, г, 1) в зависимости от координат и, особенно, от времени 1. Все полученные ниже формулы и выводы прилагаются в теориях различных векторных полей. [c.268] Построение решения сводится к отысканию потенциала Ф х, у, г), удовлетворяющ,его уравнению Пуассона с заданной правой частью, равной е (х, у, ). [c.270] И из условия о я 1 очевидно, что объемный интеграл / (Л ) при. Й О сходится. [c.271] Таким образом, при наличии неравенства (25.12) функция у (Л1), а следовательно, и потенциал Ф (ж, у, г), определенный формулой (25.13), при Л ( оо стремится к нулю как /Л . [c.271] Поэтому равенство (25.17) окончательно дает АФ= АФ = 8 х, у, г). [c.274] Таким образом, полное решение первой задачи об определении поля скоростей в безграничном пространстве по заданному распределению источников е ( , п, С) при указанных ограничениях, наложенных на функцию е ( , ц, представляется формулой (25.16). [c.274] Вектор вихря в силу своего определения является соленоида льным вектором, т. е. [c.275] Выполнимость этого условия можно всегда обеспечить выбором скалярной функции ф (х, у, z). [c.275] Отсюда следует, что div = О, поэтому будет удовлетворенно не только уравнение (25.23), но и уравнение (25.22), представ-ляюш ев собой иную запись основных уравнений (25.21) или (25.18). [c.277] Все выведенные формулы применимы к частному случаю, когда вихри заполняют конечную часть пространства 3), ограниченную поверхностью 2. Вне 2 имеем и = О, условие непрерывности (0 на 2 приводит к равенству и = О на 2, поэтому поверхность 2 должна быть вихревой поверхностью. [c.277] Краевые условия на 2 могут быть разнообразными. Рассмотрим важный для гидродинамики частный случай, когда на 2 заданы нормальные составляющие вектора V. Для определенности рассмотрим внешнюю задачу, когда область 6) содержит бесконечно удаленную точку. [c.278] Продолжение е и ю, заданных в 2), в пространство вне 33 можно осуществлять различными способами. Распределение 8 вне 25 с учетом выполнения различных допущений, связанных с построением поля скоростей но источникам, можно задать с большим произволом и, в частности, принять, что 8=0 вне 25. Во многих частных случаях при продолжении плотности 8 во все пространство полезно использовать различные соображения, связанные с симметрией области 33 и соответствующих граничных условий (метод зеркальных изображений и т. и.). [c.278] При продолжении вектора ю на все пространство через поверхность 2 эта поверхность в общем случае может оказаться поверхностью разрыва вектора (о. Для использования формулы (25.28) необходимо обеспечить непрерывность о) на 2. [c.278] Вернуться к основной статье