ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Распространение плоских волн конечной амплитуды (волны Римана) из "Механика сплошной среды. Т.2 " В предыдущем параграфе рассматривалось распространение слабых возмущений. Уравнения движения были линейными и сводились к волновому уравнению. [c.220] Система уравнений (18.1) — (18.2) с учетом условия баро-тропности течения (18.3) представляет собой систему двух уравнений для определения плотности р и скорости и в зависимости от координаты х и времени Л Проводимые ниже рассуждения справедливы, вообще говоря, при любой зависимости (18.3) р от р. Случай адиабатических движений совершенного газа (18.4) мы будем рассматривать далее для иллюстрации полученных выводов только в качестве частного примера. [c.221] Выписанная система уравнений движения газа (18.1) — (18.3) не имеет решений, зависящих только от а но оказывается возможным найти решение этой системы, представляющее собой плоскую волну и являющееся обобщением решений вида / х + которые имеют место для приближенных линейных уравнений. [c.221] Равенство (18.7) обязательно должно выполняться для того, чтобы сделанное выше предположение о существовании решений вида и = и (р) выполнялось. [c.222] Аналогично можно рассмотреть и скорость с, равную и — а. Согласно (18.9) и (18.10) величина с для баротропных процессов является известной функцией плотности р. [c.223] Отсюда видно, что скорости а и с являются монотонно возрастающими функциями плотности р. Аналогичное исследование характера зависимости а и с от плотности р можно провести для произвольной зависимости р от р (18.3). [c.223] Формулы (18.15), (18.16) и (18.14) дают решение Римана. В атом решении функция Р (р) произвольна, этой функцией можно распорядиться и удовлетворить некоторым добавочным частным условиям. [c.224] Для упрощения рассуждений примем, что постоянная в (18.14) положительна или равна нулю. Прибавление любой постоянной к с (р) не может изменить всех последующих выводов. [c.224] Таким образом, если в решении Римана имеются участки волны сжатия, в потоке идеальной (невязкой) среды обязательно будут возникать скачки уплотнения. Разрывы не будут образовываться, если плотность в волне Римана монотонно возрастает в направлении распространения волны на всем ее протяжении, как, например, в случае волны, возникающей при непрерывном выдвигании поршня из заполненной газом длинной трубы. Скачки уплотнения могут, а скачки разрежения не могут возникать, так как профиль волны разреншния становится все более пологим. [c.226] При использовании второго решения со знаком минус все выводы сохраняют свою силу после изменения направления оси X на противоположное. Предыдущие выводы существенно связаны с видом функции р = / (р). [c.226] В частности, теория волн Римана непосредственно применима в нелинейной теории упругости для движений с плоскими волнами, перпендикулярными к оси х, когда перемещения параллельны оси X. В этих приложениях нет необходимости использовать плотность как основную неизвестную величину, вместо плотности можно взять в качестве искомой величины любой другой параметр, связанный известным способом с плотностью. Соответствующие видоизменения решения Римана очевидны. [c.227] Римана можно определить как такие решения, для которых имеется семейство прямолинейных характеристик. [c.228] Указанные выше особенности решений Римана служат главной основой для конструирования решения ряда задач с использованием решений Римана. В частности, с помощью решений Римана легко построить решение автомодельной задачи о движении газа за поршнем, выдвигаемым при О с постоянной скоростью из цилиндрической трубы, заполненной совершенным газом, в предположении, что при С О поршень и газ покоились, а при 1 0 движение газа адиабатично или вообще баротропно. [c.228] В различных приложениях существует очень много задач, при точном или приближенном решении которых необходимо опираться на рассмотренную выше теорию простых волн Римана. [c.228] Вернуться к основной статье