ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Потенциальные движения несжимаемой жидкости. Свойства гармонических функций из "Механика сплошной среды. Т.2 " Рассмотрим теперь потенциальные течения идеальной несжимаемой жидкости. [c.157] Решение 9 = 6 ( ) имеет простой физический смысл. [c.158] Это течение называется течением от точечного диполя в пространстве, С называется моментом диполя, а направление 8 — его осью. Точка Хр, Уо, Хо, где расположен диполь, является особой точкой, в ней, как легко проверить, скорость бесконечна. Жидкость, если С 0, вытекает из этой точки по направлению 8 и втекает в ту же точку с противоположной стороны (рис. 67). [c.158] Соответствующие течения жидкости при постоянных х , у , гц регулярны во всем пространстве х, у, г, кроме точки Хд, у , потенциалы (12.3) и их производные имеют повышенный порядок исчезания в бесконечности по сравнению с 1/г. [c.159] Внутри Уо имеется распределение объемных источников с плотностью (х, у, ). При продолжении движения несжимаемой жидкости в объем получим, что в объеме условие несжимаемости ((Ву г = 0) не удовлетворяется. [c.160] Здесь р, М) — некоторая интегрируемая функция точек поверхности 2. Функция ф, определяемая формулой (12.8),— гармоническая функция вне 2. Потенциал (12.8) называется потенциалом двойного слоя. [c.160] Рассмотрим несколько очень важных Свойства гармонических свойств гармонических функций. [c.161] Пусть S — некоторая замкнутая поверхность, расположенная в области ), внутри которой происходит регулярное потенциальное течение несжимаемой жидкости. [c.161] Пусть —область, в которой функция р х, у, г) гармонична пользуясь свойством (12.11), легко показать, что функция ф не может достигать ни максимума, ни минимума внутри области 3). [c.162] Величина скорости и квадрат величины скорости не являются гармоническими функциями, тем не менее максимальное значение величины, скорости при потенциальном движении несжимаемой жидкости достигается на границе регулярного потока жидкости. [c.162] При обтекании тел безграничным потоком максимальное значение величины скорости достигается на поверхности обтекаемых тел. При установившемся обтекании согласно интегралу Бернулли максимальной скорости в потоке соответствует минимальное значение давления. Следовательно, точка с минимальным давлением находится на поверхности тела. Кавитация впервые возникает в области, близкой к минимуму давлений, поэтому кавитация возникает вблизи поверхности обтекаемых тел. [c.163] Очевидно, что величина Е равняется кинетической энергии жидкости в объеме V. Формула (12.16) показывает, что кинетическая энергия жидкости в объеме V представляется поверхностным интегралом по граничной поверхности S. По смыслу формулы (12.16) существенно предположение об однозначности потенциала ф.Если объем V, в котором потенциальное движение регулярно, односвязный, то однозначность потенциала ф получается автоматически. Если V — многосвязный, то предположение об однозначности ф существенно. [c.164] Задача об определении гармонической функции ф х, у, г), регулярной внутри 2, по заданным значениям нормальной производной дер/дп на 2 — границе 3) называется задачей Неймана. [c.164] Задачи называются внутренними, когда внутри области 2) не содержится бесконечно удаленная точка, в противном случае задачи называются внешними. [c.165] В случае внешней задачи необходимо задавать добавочные условия в бесконечно удаленной точке. В качестве такого условия можно принять требование об исчезании скорости, т. е. [c.165] В самом деле, пусть две однозначные гармонические функции Фх и ф2 дают два решения рассматриваемой задачи. Рассмотрим гармоническую функцию Ф = ф1 — Фа- Очевидно, что для однозначной функции ф получается та же задача, что для функций ф1 и фз, но только с нулевыми значениями на границе 2. С помощью формулы (12.16), примененной к функции Ф = Фх — — Фа, получим, что ф = onst. Для задачи Дирихле или для смешанной задачи ф = 0. В задаче Неймана постоянная может быть отличной от нуля, но движение жидкости определяется однозначно. [c.165] Заметим еще, что для многосвязной области 2) задача Неймана и некоторые смешанные задачи наряду с единственным однозначным решением для потенциала могут иметь еще решения с неоднозначным потенциалом ф. В случае неоднозначных функций ф в многосвязных областях единственность решения не имеет места. В этом случае для выделения единственных неоднозначных решений требуется выставлять дополнительные условия, фиксирующие периоды неоднозначности — циркуляции по контурам, не стягиваемым в точку внутри многосвязной области 2). [c.166] С помощью второй формулы Грина можно дать формулу, выражающую однозначную гармоническую функцию ф (ж, у, %) внутри объема V через значения ф и д( 1дп на границе 5 этого объема. [c.166] Область интегрирования для получения потенциала. [c.166] Вернуться к основной статье