ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Законы распределения вероятности при многократных испытаниях из "Метрология Введение в специальность " Биномиальное распределение. Допустим, что при некотором ие-пытании событие А может наступить или не наступить. Вероятность наступления события А обозначим через Р(Л)=Р, а вероятность его ненаступления — через Р А)=д. [c.133] Рассмотрим возможные исходы двух последовательных независимых испытаний. Их можно представить в виде таблицы (табл. 22), в которой приведены также вероятности различных исходов. [c.133] Очевидно, что вероятность двукратного появления события А равна Р , вероятность однократного появления (безразлично, при каком испытании) равна 2 Pq, а вероятность того, что событие не наступит ни разу, равна q . [c.134] Соответственно задачу можно сформулировать в общем виде. В серии из п независимых испытаний вероятность наступления события А при каждом отдельном испытании равна Р. Требуется определить вероятность Р (т) того, что событие наступит т раз. Отметим, что Р п)=р , Р (0) = i/ находятся по теореме умножения вероятностей. [c.134] Решение. В данном случае P=q=l/2. Находим Рб(0) =/ 6(6) = (1/2) = 1/64 Рб(1)=Л(2)=С (1/2)5 (1/2) = 3/Э2 / б(2) = Рб(4) =Сб (1/2) (1/2) = 15/64, Рб(3)=С (1/2) (1/2) =5/16. [c.134] Полученные результаты можно перенести на график (рис. 12), отложив по оси абсцисс значения т, а по оси ординат значения Р (т). Очевидно, что наиболее вероятное число выпадения герба т = 3, но вероятность не велика и составляет 5/16. [c.134] Пример. В данный промежуток времени орудие может выпустить 40 снарядов с вероятностью попадания 0,8 для каждого из них. Найти вероятнейшее число попаданий за данный промежуток времени. [c.135] Решение. п = 40, Р — 0,8, д=0,2. По формуле (6.12) имеем 40.0,8+0,8 а 40-0,8—0,2 или 32,8 а 31,8, следовательно, а, = 32. [c.135] В процессе обработки результатов или в прогнозировании качества результатов измерений практический интерес представляет решение следующей задачи какова вероятность того, что событие совершится в пределах от а до Ь раз, т. е. совершится или а раз, или а-ь1 раз, или а + 2 раз и т. д, или Ь раз. [c.135] Проще решаются подобные задачи с использованием нормального закона распределения вероятностей, вывод которого дан Лапласом, использовавшим результаты, полученные ранее Муавром. Отсюда название закона Муавра—Лапласа. [c.136] Нормальный закон распределения дает достаточно точные результаты при большом числе испытаний. При л 20 и при значениях Р, отличающихся от О и 1, полученные результаты нормального закона и биномиального распределения практически не отличаются. [c.136] Нормальный закон распределения свободен от указанных недостатков биномиального распределения. И главное достоинство, что нормальный закон распространяется на очень большой класс случайных явлений и используется во многих практических случаях. [c.136] Эту функцию называют нормальной функцией распределения (интеграл распределения). [c.137] Кривая у = Ф х), симметричная относительно начала координат, имеет две асимптоты (рис. 13, б). [c.138] В практических задачах чаше интересует вопрос не наступления события А какое-то определенное число раз, а вероятность того, что число наступлений события А заключено в некоторых пределах. Эту вероятность можно получить суммированием, что отмечалось выше, однако это требует громоздких вычислений. [c.138] Значения Ф 1) могут быть найдены по таблицам приложения 2. [c.139] Пример 2. Определить вероятность того, что при 8000 бросаниях игральной кости частота выпадения шестерки будет отклоняться от вероятности Р = 1 /6 меньше, чем на 1/80. [c.139] Вернуться к основной статье