ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Болотин В. В. Прочность, устойчивость и колебания многослойных пластин из "Расчёты на прочность Выпуск 11 " Многослойные конструкции широко распространены в технике. В одних случаях применение многослойных конструкций диктуется стремлением сочетать легкость с достаточной прочностью и жесткостью. Примером могут служить трехслойные пластины и оболочки с мягким заполнителем, применяемые в авиации [1]. Нормальные напряжения при изгибе воспринимаются в основном крайними (несущими) слоями заполнитель выполняет роль связей между этими слоями и работает в основном на сдвиг. В других случаях многослойная конструкция используется в связи с необходимостью сочетать различные ограждающие свойства. В качестве примера укажем на многослойные стеновые панели гражданских зданий, сочетающие механическую прочность, теплоизоляционные и звукоизоляционные качества. [c.31] Если конструкция такова, что для пакета в целом обеспечивается выполнение гипотезы Кирхгофа—Лява, то расчет принципиально не отличается от расчета соответствующей однослойной конструкции. Однако обычно слои из жесткого материала чередуются со слоями из материала пониженной жесткости. Так, в трехслойных авиационных панелях жесткость сотового заполнителя или заполнителя из пенопласта значительно ниже жесткости несущих слоев. В ограждающих конструкциях жесткость теплоизоляционных и звукоизоляционных слоев обычно значительно ниже жесткости несущих слоев и т. д. [c.31] Кирхгофа заменяется здесь предположением о законе распределения этих деформаций по толщине мягкого слоя. [c.32] В настоящей статье излагается теория расчета пластин, гп-ставленных из жестких и мягких слоев в произвольной последовательности. Для вывода уравнений используются вариационные принципы, что позволяет также получить естественные граничные условия и установить, таким образом, систему внутренних усилий, не противоречащих введенным гипотезам. Уравнения равновесия выводятся из принципа Лагранжа, уравнения колебаний — из принципа Гамильтона и уравнения нейтрального равновесия для задачи об устойчивости безмоментного состояния — из принципа Треффца. Обсуждаются частные и предельные случаи. [c.32] Для регулярной многослойной пластины даются точные решения, основанные на использовании аппарата уравнений в конечных разностях. Эти решения позволяют исследовать явную зависимость результатов от числа слоев. Для пластин, состоящих из большого числа слоев, выводятся приближенные уравнения. Переход к этим уравнениям эквивалентен замене неоднородной пластины некоторой однородной, но анизотропной пластиной. [c.32] Теория расчета трехслойных конструкций с мягким заполнителем, а также теория расчета многослойных конструкций, для которых в целом выполняется гипотеза Кирхгофа—Лява, в статье не рассматриваются. Равным образом не рассматриваются методы расчета конструкций, составленных из анизотропных слоев. Распространение на анизотропные конструкции методов, сформулированных для изотропных конструкций, затруднений не представляет. [c.32] Рассмотрим пластину, состоящую из изотропных упругих слоев. Направим ось Ог по нормали к слоям, а плоскость Оху расположим пока произвольно (фиг. 1). [c.32] Жесткие слои — это те, для которых в правой части формулы (1) доминируют первый, второй и четвертый члены, мягкие слои— это те, для которых доминирующими являются последние два члена (или, может быть, еще третий член). Очевидно, что существует еще ряд промежуточных и смешанных случаев. [c.33] Установим усовия, при выполнении которых слой должен быть отнесен к той или иной группе. [c.33] Рассмотрим пластину, составленную из упругих слоев, каждый из которых имеет постоянную толщину (фиг. 1). Допустим, что некоторые слои могут трактоваться как изотропные упругие пластины, подчиняющиеся гипотезе Кирхгофа—Лява. Остальные слои будем считать трансверсально мягкими в том смысле, что вклад в потенциальную энергию деформации этих слоев напряжений Ох, Оу, %ху пренебрежимо мал по сравнению со вкладом напряжений Ххг, Хуг И Ог- Случай МЯГКИХ слоев легко может быть получен путем предельного перехода. Для краткости будем называть трансверсально мягкие слои просто мягкими. [c.36] Объединим соседние жесткие слои друг с другом полученные слои также будут жесткими. Но ввиду переменности упругих характеристик по толщине они будут неоднородными. Гипотеза Кирхгофа—Лява остается справедливой и для объединенных жестких слоев. Аналогично объединим соседние мягкие слои. [c.36] В дальнейшем под жесткими и мягкими слоями будем понимать именно эти объединенные неоднородные слои. Если крайний слой является мягким, то его энергия деформации будет, очевидно, пренебрежимо мала по сравнению с энергией соседнего жесткого слоя. Поэтому без ограничения общности можно принять, что крайние слои являются жесткими. [c.36] Переходим к рассмотрению мягких слоев. Их толщины обозначим через 5а (а=1, 2. п—1). Для мягких слоев вместо гипотезы Кирхгофа — Лява введем гипотезу о равномерном распределении касательных напряжений Ххг и и нормальных напряжений сгх по толщине Ха. Отступление от равномерного закона будет, очевидно, тем меньше, чем тоньше слой и чем ниже его упругие постоянные по сравнению с упругими постоянными соседних жестких слоев. [c.38] Очевидно, параметр 5 имеет смысл приведенной жесткости сдвига для мягких слоев и — расстояния от середины мягкого слоя с индексом а до середин нижнего и верхнего жестких слоев соответственно. [c.39] Здесь Са — приведенная жесткость при растяжении (сжатии) мягкого слоя в направлении нормалей, т. е. [c.40] Подставив функцию Лагранжа (30) в уравнения (31) и (32), получим систему Зп дифференциальных уравнений относительно Ua., va. и сс (а=1, 2.п). Эти уравнения будут справедливы для пластин с переменными параметрами Аа, Ва, С, и т. д. Ввиду громоздкости не будем выписывать полные уравнения и ограничимся уравнениями для пластин с постоянными параметрами. [c.43] Уравнения (34), строго говоря, записаны для а= =2, 3,..п—1. Чтобы получить уравнения для случая а=1 и а = п, нужно в уравнениях (34) положить Во=Со=0 и В = = С = 0 соответственно. [c.43] Наряду с уравнениями Остроградского — Эйлера рассмотрим естественные граничные условия. Анализ естественных граничных условий (т. е. условий на свободном контуре) позволит решить вопрос о выборе системы внутренних усилий, не противоречащих принятой системе гипотез. [c.43] Эти условия имеют очевидный механический смысл их левые части равны тангенциальным условиям, действующим в срединной поверхности жестких слоев. [c.44] Вернуться к основной статье