ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Один из методов решения системы двух дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами из "Курс теории механизмов и машин " Решение системы (10.74) производится в следующем порядке 1) составляется характеристическое уравнение системы (10.74) и определяются его корни 2) составляется фундаментальная система решений однородных уравнений 3) вычисляются отношения между постоянными коэффициентами полученных решений 4) по известным правым частям уравнений отыскиваются частные решения 5) на основании начальных или краевых условий определяются постоянные коэффициенты. [c.285] Как известно, выражение в скобках последнего уравнения является характеристическим уравнением системы дифференциальных уравнений (10.74). [c.285] При исследовании системы с д)зумя степенями свободы приходится иметь дело с двумя дифференциальными уравнениями второго порядка и в соответствии с этим получается характеристическое уравнение четвертой степени. Существует точный способ решения таких уравнений, но из-за громозкости его рекомендовать нельзя. Ознакомимся с приближенным способом решения, позволяющим получать результаты с любой наперед заданной степенью точности. [c.285] Только что приведенную систему будем решать методом последовательных попыток. В каждом конкретном случае решения подобных задач возникает вопрос о выборе величины т . Имея в виду величину коэффициента Гд исходного уравнения, можно начинать решение системы (10.76), задаваясь сначала величиной т , равной нулю, далее равной 0,5 Гд или равной Гд. Две или три попытки уже указывают путь, по которому следует идти. [c.286] Задавшись величиной т. , из первого уравнения определим /Ид. Далее из второго уравнения определим п. , после чего из третьего уравнения устанавливается величина п . Четвертое уравнение предназначается для проверки, на основании которой вычисляется величина отклонения бд = [ПуП — г,, первого приближения. [c.286] После этого для уточнения можно воспользоваться линейным интерполированием, на основании которого определяется поправка А/Па к величине второго приближения. [c.286] Задаваясь величиной корня ру, из первых двух уравнений определяем величины т н п, а третьим уравнением пользуемся для проверки. [c.287] Теперь имеем т. — 2 — 4,68= —2,68 п = 30 + 2,68-4,68= 42,55 РхП = = — 4,68-42,55= — 199,13 63 = — 199,13 + 200 = 0,87. Дальнейшее уточнение производить не будем, так как для этого потребовалось бы вести расчет с большим числом знаков. [c.288] Второй и третий корни исходного уравнения мы определять не будем. [c.288] Здесь постоянные отличаются от постоянных двух предыдущих равенств. [c.289] Чтобы выразить постоянные С ц и G l через постоянные Gaj и С4], надо подставить значения jSg4, У34 и их первых и вторых производных в одно из уравнений (10.74 ) или, для контроля, в оба уравнения, после чего и можно будет получить искомые выражения постоянных С31 и G41. [c.289] Полученный результат свидетельствует о том, что рассматриваемая нами система находится в колебательном состоянии с частотой собственных колебаний, равной р. Если величина а положительная, то колебания получаются расходящимися, при отрицательном а наблюдаются затухающие колебания и при а = 0 имеют место незатухающие гармонические колебания. [c.290] Подставив эти величины и их производные по времени в уравнения (10.74), получим тождества, справедливые при любых значениях переменной (, в том числе при ( = 0 и при a-J. = 0,5л1 и = 0,5л, В соответствии с этим будем иметь четыре уравнения, из которых можно определить искомые величины Рц Sj и Ра, Sa. [c.291] Складывая частные решения с фундаментальной системой решений, получаем общие решения системы (10.74). [c.291] Вернуться к основной статье