ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Решение уравнений Прандтля как нулевое приближение в общем асимптотическом решении уравнений Стокса при больших рейнольдсовых числах из "Механика жидкости и газа Издание3 " Принятое упрощение не является принципиальным. Весь дальней-щий вывод можно было провести, и не считая указанную на рис. 185 сетку координатных линий прямолинейной. БоЛее сложные в этом случае уравнения в криволинейных координатах можно найти в специальных монографиях ). [c.558] Приводимые ниже рассуждения основаны на том, что в тонком пограничном слое продольная компонента скорости и на протяжении малой толщины слоя б должна измениться от нулевого значения (м = 0) на поверхности тела у = 0) до некоторого конечного значения, имеющего порядок скорости внещнего безвихревого потока идеальной жидкости, о котором ул е была речь в предыдущем параграфе. Уточним это понятие с количественной стороны, заметив, что благодаря тонкости пограничного слоя внешнюю скорость можно с достаточной точностью определить как скорость сколья ения идеальной жидкости по поверхности тела, которая имела бы место, если бы не было характерного для вязкой жидкости прилипания твердой поверхности. Короче говоря, под внешней скоростью можно подразумевать скорость движения идеальной жидкости На поверхности тела при отсутствии пограничного слоя. Наличие необходимости в некоторых случаях учитывать обратное влияние пограничного слоя на внешнюю скорость будет в дальнейшем рассмотрено. [c.558] Перейдем к оценке порядка величины отдельных членов уравнений Стокса (2). [c.558] Так определяется величина масштаба б поперечных. координат в области пограничного слоя, или, что то же, порядок толщины пограничного слоя. Равенство (8) дает количественную оценку малости величины отношения б/L как величины, обратной корню квадратному из рейнольдсова числа Ке, в настоящей главе предполагаемого достаточно большим. [c.560] В дальнейшем будем рассматривать как основной малый параметр, характеризующий движение вязкой жидкости при больших рейнольдсовых числах. [c.560] Уравнения (13) нредсгавлякп собой систему нелинейных уравнений в частных производны.ч второго порядка параболического типа. Как уже упоминалось, входящая в них заданная наперед функция U(x,t) является скоростью на вненлней границе пограничного слоя и определяется заранее путем решения задачи безвихревого обтекания тела идеальной несжимаемой жидкостью. [c.561] Вопрос о существовании и единственности решещ1й уравнений (13) при граничных условиях (14) послужил предметом исследований многих ученых и в настоящее время может считаться в значительной мере разрешенным ). [c.561] Учет начального граничного условия в некоторых задачах представляет существенное, принципиальное значение. Таковы все вопросы развития профиля скоростей, заданного предыдущей историей потока, в расположенном ниже по потоку пограничном слое. [c.562] В качестве первого примера можно указать на течение в ближнем аэродинамическом следе за хорошо обтекаемым телом, в частности за продольно обтекаемой пластинкой. Профиль скоростей в пограничном слое, образовавшийся на задней кромке пластинки, будет служить начальным условием для области блил него следа, в котором благодаря исчезновению тормозящего влияния пластинки задача получает новую постановку (граничное условие ди ду = О вместо ы = О при у = 0). Вторым примером может служить учет влияния профиля скоростей в выходном сечении трубы на вытекающую из нее струю. [c.562] СЛОЯ В другую, смежную с ней область, отличающуюся от предыдущей либо самими уравнениями, либо граничными или другими дополнительными условиями. В этих случаях дело обычно сводится к необходимости сшивания решений в сечении слоя, разграничивающем области. Для повышения точности сшивания решении необходимо заметить, что поведение профиля скорости вблизи поверхности твердого тела в любом сечении пограничного слоя, в том числе и в начальном , не произвольно, а подчиняется ряду условий, часть которых выражается через известные характеристики внешнего потока (внешняя скорость и ее производные), а другая часть зависит от величин, определяемых только в результате решения данной задачи (иапряжение трения на стенке и его изменения вдоль по потоку). [c.563] В отличие от предыдущих, последнее условие не дает определенного значения на стенке четвертой производной от скорости по ординате, а лишь связывает ее с продольным изменением первой производной на стенке, т. е. величины пропорциональной местному напряжению трения, остающемуся неизвестным до окончательного расчета пограничного слоя. [c.563] Продолжая тот же процесс, можно составить ряд аналогичных условий, содержащих производные более высоких порядков ). [c.563] Как в дальнейшем будет показано, некоторые движения в пограничных слоях являются автомодельными, удовлетворяющими условию подобия профилей скорости в различных сечениях пограничного слоя. В таких движениях задание начального профиля скоростей теряет смысл, исчезает и необходимость в этом граничном условии, так как дифференциальные уравнения в частных производных сводятся к обыкновенным, для разыскания решений которых достаточно выполнить граничные условия лишь на стенке и на внешней границе пограничного слоя. Обычно в большинстве общих, неавтомодельных задач отдельные участки пограничного слоя, например, вблизи лобовой критической точки омываемого потоком тела, описываются автомодельными решениями, что также облегчает задачу и позволяет не ставить требований о выполнении условия в начальном сечении. [c.564] Наконец, следует еще заметить, что в практических, часто сравнительно грубых решениях задач пограничного слоя можно просто пренебречь начальным условием, так как влияние его на движение за начальным сечением х = Ха быстро убывает с возрастанием относительного (выраженного в частях начальной толщины пограничного слоя бо) расстояния данного сечения от начального. Из-за малости толщины бо абсолютным расстояниям х вдоль пограничного слоя, имеющим порядок характерной длины самого обтекаетиого тела, соответствуют очень большие, отнесенные к толщине слоя в начальном сеченпн расстояния, что и позволяет пренебрегать граничным условием в начальном сечении. Между этой постановкой задач пограничного слоя и ранее указанной, вполне строгой имеется еще промежуточная , более близкая к строгой, но также приближенная постановка, которой в дальнейшем будет уделено особое внимание. В этой постановке условие в начальном сечении удовлетворяется не полностью, с учетом всех деталей начального профиля скоростей, а лишь суммарно, через те или другие интегральные характеристики этого профиля. [c.564] В дальнейшем будут изложены разнообразные приближенные методы интегрирования уравнений пограничного слоя, будут приведены также и некоторые случаи точного их решения. Наличие электронных вычислительных цифровых машнн (ЭВЦМ) позволило свести решение задач пограничного слоя к составлению стандартных программ, предназначенных для той или другой ЭВЦМ/). С этой целью используется тот же метод сеток, что и при обычном численном интегрировании уравнений Стокса. Характерная для пограничного слоя малая протяженность области интегрирования в направлении, перпендикулярном к потоку (контуру поверхности тела), заставляет пользоваться уравнениями пограничного слоя в безразмерной форме. Использование в качестве масштаба поперечных к потоку длин величины порядка толщины слоя, т. е., согласно (9), величины, обратно пропорциональной корню квадратному из рейнольдсова числа, приводит к растягиванию безразмерных поперечных координат и приведению их к тому же порядку, что и безразмерные продольные координаты. Такое аффинное преобразование области пограничного слоя полезно при любых его расчетах и будет постоянно Б настоящей главе применяться. [c.564] Общий вид безразмерных уравнений Стокса в такого рода разномасштабных координатах будет лан в следующем параграфе, а сейчас, отметим еще одно важное обстоятельство, относящееся к численному интегрированию уравнении пограничного слоя. Как уже упоминалось в конце предыдущей главы, прн численных методах интегрирования уравнений Стокса оказывается более эффективным рещать стационарные задачи методом установления , заключающимся в рассмотрении таких нестационарных решений, которые при предельном переходе /— 00 стремятся к искомым стационарным решениям. Этот прием может с усиехо.м применяться и при расчетах стационарных движений в пограничных слоях. В таких случаях полезно знать наперед условия, при выполнении которых указанный предельный переход буде г оправдан, т. с. предел при i оо полученного нестационарного решения будет существовать и окажется единственным решением интересующей нас стационарной задачи. В настоящее время этот вопрос исследован, и такого рода условия установлены ). [c.565] Таким образом, мы убеждаемся в том, что уравнения Прандтля движения вязкой жидкости в области пограничного слоя являются предельной формой общих уравнений Стокса. [c.566] Покажем, что решение уравнений Прандтля представляет первое приближение в асимптотическом (при больших Re) разложении решения уравнений Стокса по степеням ранее указанного [формула (9)] малого параметра е= l/l/Re. Мы называем это приближение первым , хотя оно выражается членом асимптотического ряда, содержащим малый параметр е в нулевой степени. [c.566] Построение искомого асимптотического разложения требует некоторого уточнения системы уравнений (2), из которой была выведена система (19) и затем (20). Вспомним с этой целью второе, также в данном случае весьма существенное отличие уравнений (19) от уравнения (38) предыдущей главы. Прямолинейные декартовы координаты X, у, фигурирующие в уравнении (2), на самом деле являются криволинейными (рис. 185), а возможность составления уравнений Стокса в этих криволинейных координатах в форме (2), соответствующей прямолинейным, была обусловлена малостью поперечного размера области пограничного слоя по сравнению с местными радиусами кривизны контура обтекаемого тела. Такое допущение справедливо, конечно, только при очень больших рейнольдсовых числах, т. е. очень малых значениях параметра е, определенного равенством (9). [c.566] Вернуться к основной статье