ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Волны разрежения за движущимся поршнем. Центрированные волАвтомодельная и общая задачи из "Механика жидкости и газа Издание3 " В левых частях этих уравнений стоят одномерные индивидуальные производные в первом уравнении от величины + и, связанной с точкой, движущейся вдоль оси Ох со скоростью и + а, а во втором уравнении от величины — и, связанной с точкой, движущейся вдоль оси Ох со скоростью и —а. Равенство нулю этих индивидуальных производных говорит о сохранении величины + в точке, движущейся со скоростью и + а, и величины — и в точке, движущейся со скоростью и —а. [c.172] Направляя ось Ох вниз по потоку, т. е. считая и О, можем сказать, что волны первого семейства в своем относительном движении по газу распространяются в ту же сторону, что и газ, волны второго семейства — в противоположную сторону. Относительная скорость распространения волн по газу равна а, где а —местная скорость звука верхний знак относится к первому семейству, нижний —ко второму. Волны первого семейства несут постоянное значение инварианта г, волны второго семейства — инварианта 5. [c.173] В случае линеаризованного движения газа ( 26) имела место аналогичная картина распространения возмущений, с той лишь разницей, что волны в этом случае распространялись с постоянной скоростью, равной скорости звука в невоз-мущенном газе, и несли постоянные значения параметров газа. [c.173] Прежде чем перейти к более детальному рассмотрению вопроса о распространении- конечных возмущений, заметим, что волновой характер уравнений (86) позволяет указать графоаналитический метод их интегрирования. Изложим основную идею этого метода. [c.173] Уравнения (88) и (89) можно рассматривать как дифференциальные уравнения семейств кривых (С1) и (Сг), угловые коэффициенты касательных к которым определяются равенствами (90). Разыскание уравнений этих семейств кривых в конечной форме невозможно до интегрирования уравнений (86) и нахождения и х, t) и а х, /) однако, как мы сейчас увидим, наличие равенств (90) существенно как для представления общего характера процессов, описываемых уравнениями (86), так и для интегрирования этих уравнений. [c.173] Предположим, что нам задано некоторое начальное распределение скорости u s) и параметров газа p(s), p(s), a s), а следовательно, и (s) вдоль некоторой кривой (S) (рис. 38), направление касательных к которой не совпадает с характеристическими направлениями. В частном случае это может быть заданием начальных условий прн / == О, т. е. на оси Ох, или граничных условий на прямых, параллельных оси о/. [c.174] На отрезке ЛЛ( характеристики (С]) сохраняется первый инвариант г, т. е. [c.174] НИЯ неизвестных функций и, р, р, а в сколь угодно близких друг к другу точках плоскости х, t), что и решает поставленную задачу. [c.175] Обратимся теперь к более детальному рассмотрению вопроса об одномерном распространении в идеальном газе возмущений конечной интенсивности. Покажем, что, подобно тому как это имело место в случае малых возмущений, распространение конечных по величине возмущений также может происходить при помощи простых волн ( 26),т.е. волн, бегущих с постоянной скоростью и несущих с собой постоянные значения параметров газа. Такого рода распространение возмущений конечной интенсивности будет иметь место, если один из инвариантов Римана постоянен во всей области течения, для чего, очевидно, достаточно, чтобы этот инвариант был постоянным в начальный момент времени (при / = 0 вдоль оси Ох). Возможность такого рода допущения будет вскоре пояснена и проиллюстрирована примером. [c.175] Пусть для определенности постоянен второй инвариант 8 = 0 —и. [c.175] Из принятого условия О и равенства (91) заключим, что 0 О, а по (85) р ро, т. е. возмущения, переносимые волнами первого семейства, представляют сжатие газа, а сами волны молшо назвать волнами сжатия. [c.175] В отличие от случая малых возмущений, рассмотренного в 26, где все простые волны имели одну и ту же по величине скорость распространения, равную скорости звука в невозмущенном газе, в разбираемом сейчас случае простых волн, несущих конечные по интенсивности возмущения, скорости распространения по отношению к газу, равные по абсолютной величине местной скорости звука, не одинаковы для различных волн данного семейства. [c.176] Таким образом, абсолютная и относительная скорости распространения волн первого семейства (волн сжатия) тем больше, чем больше переносимые ими интенсивности возмущений. [c.176] С увеличением разрежения, т. е. абсолютной величины разности р — ро, будет, согласно (85), увеличиваться и абсолютное значение функции так что по (93) увеличится и скорость движения газа и. Из первого равенства системы (98) заключим, что при этом скорость а распространения волн разрежения относительно газа будет уменьшаться, а абсолютная скорость увеличиваться. [c.177] Отсюда следует основное отличие явления распространения конечных возмущений от распространения малых возмущений начальная форма распределения возмущений не сохраняется. [c.177] Таким образом, из теории распространения волн сжатия конечной интенсивности вытекает неизбежность возникновения в трубе ударных волн. [c.177] При рассмотренном только что движении поршня слева от него образуется разрежение, которое будет распространяться при помощи волн второго семейства (волн разрежения) и также приведет к некоторому непрерывному распределению скоростей возмущений, направленных в сторону положительных х. Но в этом случае распределение скоростей представится не спадающей, как на рис. 39, а восходящей кривой (рис. 40), так как точки, блнжиие к левой стороне поршня, будут иметь ббльшие скорости, чем удаленные от нее. Выведенное из равенств (98) заключение о возрастании абсолютной скорости распространения волн второго семейства показывает, что в этом случае уклон кривых уменьшается и тенденция к образованию разрывов отсутствует. [c.179] Рассмотрим детальнее ) вопрос о волнах разрежения, образующихся в одномерном газовом потоке за движущимся поршнем. Начнем с простейшего случая так называемых центрированных волн разрежения. [c.179] Это — прямые линии, tia каждой из которых имеют место свои постоянные вдоль каждой из прямых значения u и ai. [c.179] Если все характеристики данного семейства пересекаются в одной и той же точке, то соответствующие им волны носят наименование центрированных. [c.179] Вернуться к основной статье