ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Закон изменения количеств движения и уравнения динамики в напряжениях. Закон моментов и симметрия тензора напряжений из "Механика жидкости и газа Издание3 " В динамике сплошных сред принято выделять два класса действующих на частицы среды сил объемные (иногда нх еще называют массовыми) и поверхностные. Под объемными силами понимают такие, которые действуют на элементы объема, как, наирнмер, силы веса, тяготения, электростатического притяжения или отталкивания, пондеромотор-ные силы действия магнитного или электрического поля на частицы проводящей среды, и, наконец, в известном условном смысле, силы инерции. К поверхностным относят силы, которые при принятом в механике макроскопическом подходе действуют на элементы поверхности, как, например, силы давления, и вообще силы, действующие со стороны потока на поверхность погруженного в него тела или реакции тела на поток, силы внутреннего трения (вязкости) в среде. [c.83] Следует оговориться, что эта классификация сил физически не оправдана, так как на самом деле мы всегда имеем дело с силами, приложенными к частицам среды, т. е., по существу, с объемными силами. Но в некоторых случаях частицы, па которых сосредоточено действие сил, бывают расположены в настолько тонком слое, что можно без большой погрешности сводить их к некоторой материальной поверхности и считать, что силы действуют на элементы этой поверхности. [c.83] В отличие от динамики системы дискретных точек, в динамике сплошных сред имеют дело не с самими силами, а с плотностью их распределения в пространстве. Так, под плотностью распределения объемных сил F в данной точке М среды понимают предел отношения главного вектора AR сил, приложенных к точкам малого объема Ат, заключающего в себе точку М, к массе Ат — рАт, где р — некоторое среднее значение плотности в объеме Ат, а объем Ат стремится к нулю, сохраняя внутри себя точку М, т. е. [c.83] Докажем, что вектор напряжения р можно представить как произведение орта п, характеризующего выбор ориентировки площадки бст в пространстве, на независящий от направления площадки, т. е. от орта п, тензор второго ранга Р, который является функцией только вектор-радиуса г и, следовательно, образует поле. [c.84] С этой целью рассмотрим вырезанный в среде элементарный тетраэдр МАВС (рис. 16) с вершиной в данной точке М, основанием в виде треугольника ЛВС, образованного пересечением наклонной плоскости с тре.мя координатными плоскостями, и боковыми гранями, расположенными в координатных плоскостях. Обозначим площадь треугольника ЛВС через бо , а площади треугольников ВМС, АМС и АМВ, представляющие проекции треугольника АВС на координатные плоскости, соответственно бОх-, боу, бо,, причем индексы х, у, г при этих площадках, так же как и при напряжениях р., ру, рг, приложенных к этим площадкам, означают ось, перепендикулирную к площадке. [c.84] Припоминая определение напряжений рх, Ру, Р , заметим, что при принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжении р обозначает ось, перпендикулярно которой ориентирована площадка, второй индекс — ось, на которую спроектировано это напряжение так, например, обозначает проекцию на ось г напряжения, приложенного к площадке, перпендикулярной к оси х. [c.85] в каждой точке жидкости или газа имеется бесчисленное множество векторов напряжений р , зависящих от выбора наклона площадки в этой точке, и один тензор Р, характеризующий напряженность жидкости в данной точке. Напряжения, прилолсенные к различно направленным площадкам, вырал аются по формулам (36) или (38) через значение тензора напряжений в данной точке. Отдельные компо-ненты тензора Р, образующие таблицу (37), зависят от выбора направлений осей координат, но тензор в целом представляет физическую величину, выралоющую определенное состояние жидкости или газа — их напряженность и не зависит, конечно, от выбора направления осей координат. [c.86] что у нас количество движения . Этими наименованиями подчеркивают происхождение уравнений (45) или (46) из закона изменения количеств движения. [c.88] Подчеркнем принципиальное отличие уравнений динамики сплошных сред от соответствующих уравнений для систем дискретных материальных точек. Векторы, стоящие слева и справа в уравнениях динамики сплошных сред, не представляют соответственно произведений масс на ускорения и силы, как это следует на основании второго закона Ньютона, а лишь плотности распределения всех этих величин, т. е. величины, отнесенные к единице объема. Умножая обе части этих уравнений на бт, получим уравнения движения центра масс, заключенных в элементарном объеме, а интегрируя после этого по конечному объему т, составим уравнения движения центра масс в объеме т. Особо следует оговорить смысл произведенного при выводе уравнений динамики сплошных сред перехода от поверхностного интеграла к объемному. [c.88] В отличие от дивергенции вектора div а, дивергенцию тензора будем отмечать заглавной буквой D. [c.88] Переход от этого векторного уравнения к проекциям не составляет труда. [c.89] Это уравнение можно рассматривать как уравнение динамики сплошной среды переменной массы , а последний член в правой части трактовать как реактивную силу , отнесенную к единице объема, или как плотность риспределения реактивных сил в движущейся среде. [c.89] Обратимся теперь к рассмотрению закона изменения моментов количеств движения в применении к сплошной среде. Заметим прежде всего, что в этом случае, наряду с распределением объемных и поверхностных сил, следовало бы для общности рассматривать также объемные и поверхностные распределения пар сил (моментов), на возможность наличия которых в сплошных средах в настоящее время уже имеются указания. Однако этот вопрос имеет пока, по-видимому, большее значение для твердых тел со специальной структурой, а для механики жидкости и газа еще мало изучен. Удовольствуемся рассмотрением случая отсутствия такого рода пар сил. [c.89] По ходу доказательства можно заметить, что симметричность тензора напряжений обусловлена отсутствием в среде непрерывно распределенных моментов объемных или поверхностных сил. Вот почему в этих условиях говорят о симметричной механике сплошных сред , о симметричной теории упругости или симметричной гидродинамике , в отличие от соответствующих несимметричтях механик для сред, допускающих наличие распределенных пар сил. [c.90] Вернуться к основной статье