ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Скоростное поле сплошной среды в окрестности точки. Первая теорема Гельмгольца из "Механика жидкости и газа Издание3 " В кинематике используется лишь одно свойство, общее для всех жидкостей и газов и присущее всякой сплошной среде это — непрерывность распределения кинематических элементов в пространстве и диф-ференцируемость их в пространстве и времени все, что будет изложено в настоящей главе, применимо для любой сплошной среды. [c.55] В отличие от кинематики отдельной точки или системы точек механика сплошной среды имеет свои специфические для нее приемы задания движения. [c.55] Поле скоростей будет стационарным, или неизменяющимся во времени, если в равенства (3) время I ие входит явно. В более общем случае поле может быть нестационарным, зависящим от времени. Обтекание одного и того же тела будет стационарным или нестационарным в зависимости от того, по отношению к какой системе координат течение рассматривать. Поле скоростей, возникающее, например, прн поступательном, прямолинейном и равномерном движении корабля, будет стационарным, если рассматривать движение воды по отношению к координатной системе, жестко связанной с кораблем, и нестационарным, если движение относить к неподвижной координатной системе, связанной с берегом. Действительно, при прохождении корабля вблизи данной точки скорость воды в этой точке будет возникать и увеличиваться при приближении корабля и уменьшаться после прохождения корабля. [c.56] Векторные линии поля скоростей, т. е. такие линии, в каждой точке которых скорость в данный момент направлена по касательной к ним, называются линиями тока. Следующий простой опыт может дать простое и наглядное представление о линиях тока. Насыпем на поверхность воды в канале легкий и хорошо видимый в отраженном свете порошок, не растворяющийся в воде. Будем считать, что частички порошка полностью увлекаются водой при ее движении, так что движения частиц воды и порошка иа поверхности воды одинаковы (на самом деле это не совсем так некоторая разница, особенно в тех областях, где движение воды резко ускоряется или замедляется, существует). При фотографировании с малым временем экспозиции каждая частичка порошка изобразится на снимке в виде маленькой черточки. Черточки эти, соответствующие малым перемещениям частичек за время экспозиции, сольются в отчетливо видимые линии, которые и будут представлять линии тока рассматриваемого движения. На рис, 1 показана фотография такого рода спектра обтекания эллиптического цилиндра. Аналогичные спектры можно получить запылением или задымливанием воздуха. [c.56] Оставим в стороне вопрос об интегрировании уравнений (4) и (5) в дальнейшем будут указаны простые приемы разыскания линий тока. [c.57] Заметим лишь, что постоянные интегрирования будут определяться из условия прохолдания линии тока через заданную точку пространства, а траектории —также через заданную точку, но и в заданный наперед момент времени. [c.58] В системе (4) время играет роль параметра, значение которого сохраняется неизменным при интегрировании уравнений иначе обстоит дело в системе (5), где время — основной аргумент. Таким образом, в общем случае пестационарного поля скоростей уравнения (4) и (5) не совпадают. В частном случае стационарного поля скоростей время в уравнения (4) и (5) явно не войдет и, откидывая излишний в этом случае правый крайний член пропорции (5), получим одинаковые системы уравнений как для линии тока, так и для траектории в этом случае линии тока и траектории совпадут. [c.58] Через каждую точку пространства, заполненного жидкостью, можно в данный момент времени провести, вообще говоря, только одну линию тока. Исключением являются такие точки, через которые проходит либо несколько, даже бесчисленное множество линий тока, либо, наоборот, ни одной такие точки называются особыми. Если линии тока пересекаются в особой точке под конечными углами, то в силу невозможности одной и той же точке иметь одновременно разные направления движения, становится очевидным, что скорость жидкости в этой точке должна быть равна либо нулю, либо бесконечности. [c.58] Линии тока являются интегральными кривыми уравнения (6), а особым точкам поля скоростей в плоском движении соответствуют особые точки дифференциального уравнения (6). На рис. 52 показаны картины линий тока источника и стока, находящегося в точке О плоскости, что соответствует особой точке уравнения (6) — узлу через эту точку проходит бесчисленное множество линий тока, а скорость в точке О равна бесконечности. На рис. 53 приводятся линии тока, окружающие точечный вихрь в точке О (понятие вихря будет в дальнейшем разъяснено). С точки зрения теории дифференциальных уравнений этой особенности поля скоростей соответствует особая точка — фокус. Скорость в точке О равна бесконечности. Наконец, в качестве третьего примера рассмотрим критические точки А и В разветвления потока около круга (рис. 57). Как показано на рисунке, внешний по отношению к кругу поток соответствует обтеканию круга, а внутренний — течению внутри круга, обусловленному наличием в точке О особенности — диполя. В точках Л и В скорости потока равны нулю, в точке О — бесконечности. Можно заметить, что точки А ц В являются седлообразными особыми точ-, нами, через каждую из них проходят только две интегральные кривые. Точка О аналогична узлу с интегральными кривыми, имеющими в точке О общую касательную. [c.58] ТО такое сечение называют нормальным или ортогональным сечением трубки. [c.59] Трубка тока представляет простой и наглядный кинематический образ, значительно облегчающий изучение движения непрерывной среды. Разбив весь поток на достаточно узкие трубки тока, можно, пользуясь основным свойством трубки — непроницаемостью ) ее боковой поверхности, изучать бесконечно малые перемещения выделенного объема жидкости вдоль трубки. [c.59] Струей называют часть жидкости, ограниченную поверхностью траекторий точек замкнутого контура. В случае стационарного поля скоростей, когда линии тока не отличаются от траекторий, трубка тока совпадает со струей. В этом случае, разбив поток на трубки тока, можно рассматривать не только бесконечно малые перемещения заключающихся в трубках объемов жидкости, но и движения их в течение любого конечного промежутка времени. [c.59] Такой прием использования трубок тока полезен, например, при обобщении на случай сплошной среды основных теорем динамики. [c.59] Громека ). Примером движения, для которого выполняется условие Громека, может слух ить плоское движение жидкости. [c.60] Желая изучить скоростное поле движущейся жидкости в деталях, применим обычный прием математического анализа — рассмотрим в данный момент времени поле скоростей жидкости в окрестности некоторой точки M(x,y,z) пространства. [c.60] Подчеркнем, что здесь все величины без штриха представляют заданные величины, проекции же скорости и, и, ю рассматриваемой точки М являются линейными функциями координат х — х, у — у, г — г точки М относительно точки М. [c.60] Вернуться к основной статье