ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Построение разностных схем методом баланса (интегроинтерполяционный метод) из "Применение ЭВМ для решения задач теплообмена " Свойство консервативности разностной схемы. Мы рассмотрели вопросы построения разностных схем, связанные с наличием временной переменной и соответствующего дифференциального оператора. Однако проблемы возникают и при выборе вида аппроксимации пространственного дифференциального оператора. В предыдущем параграфе этот оператор аппроксимировался самым простейшим образом — производные в дифференциальном уравнении и граничных условиях заменялись конечными разностями. Но оказывается, что такой подход не всегда приводит к успеху. Для более сложных задач, описываемых нелинейными уравнениями и уравнениями с переменными коэффициентами, замена производных конечными разностями может привести к схемам, которые будут иметь большую логрешность, либо вообще окажутся непригодными для счета. [c.84] Нетрудно убедиться, что если функции X (х) и Т (х) имеют необходимое число производных, то разностное уравнение (3.33) аппроксимирует дифференциальное уравнение (3.32) со вторым порядком. [c.85] Прежде чем перейти к анализу разностной схемы (3.33), остановимся на важных требованиях, предъявляемых к любым разностным схемам, которые соответствуют дифференциальным уравнениям, получаемым на основе записи законов сохранения энергии, массы, количества движения для произвольного объема сплошной среды. Очевидно, что для получения разностного решения, хорошо описывающего реальный процесс изменения температурного поля в количественном и качественном отношениях, целесообразно потребовать выполнения закона сохранения энергии и для разностного решения. [c.85] Для непрерывного точного решения закон сохранения выполняется для произвольной области тела. Для разностного решения требование выполнения закона сохранения имеет важную особенность, обусловленную дискретным разбиением тела. А и.менно, поскольку разностное решение ищется в отдельных точках тела, то необходимо разбить тело на такое же число элементарных объемов, каждый из которых будет включать одну точку, а затем потребовать выполнения закона сохранения как для произвольного элементарного объема так и для любой области, составленной из этих элементарных объемов (а следовательно, и для всего тела). Последнее требование будет выполнено, если обеспечить условие согласования тепловых потоков для любых соседних объемов, заключающееся в равенстве значений протекающих через общую границу тепловых потоков. [c.85] Отметим, что обычно требуют точного выполнения сформулированных условий при конечном разбиении расчетной области, а не только при стремлении максимального размера элементарной области к нулю. Это позволяет получать правдоподобные решения даже на грубых сетках. [c.85] Разностные схемы, при которых получаются численные решения, удовлетворяющие закону сохранения энергии, называются консервативными. [c.85] Для разностного решения закон сохранения записывается также в виде (3.34), но значения тепловых потоков должны быть теперь выражены через разностное решение. [c.86] Разобранный пример показывает, что консервативность схемы не обеспечить без принятия специальных мер. Поэтому в настоящее время в большинстве случаев разностные уравнения получают не из аппроксимации операторов дифференциального уравнения, а из непосредственной аппроксимации самих соотношений теплового баланса, записанных для элементарных объемов. При этом для тепловых потоков на границах используются выражения, обеспечивающие выполнение условий согласования. Этот способ построения консервативных разностных схем называется интегро-интерполяционным методом или методом баланса. [c.87] Поскольку число ячеек равно числу узлов пространственного разбиения, то в результате этих действий получают полную систему алгебраических уравнений — разностную схему, при решении которой можно определить разностное решение. [c.88] Пусть выбрана неравномерная пространственная сетка = р шаг h,i =- x +i — х . Элементарные ячейки для всех внутренних узлов х построим, отступая от каждого узла на половину шага влево и вправо (рис. 3.6, а). Элементарная ячейка для узла х представляет собой отрезок Хп /, = Хп h 2. [c.88] Все составляющие уравнения баланса отнесены к единице площади поперечного сечения и выражены в Вт/м . [c.88] Проинтегрируем равенство (3.43) по отрезку Xn- i, Хп. [c.89] Очевидно, что аппроксимация (3.44) удовлетворяет условию согласования потоков. [c.90] Можно показать, что разностное уравнение (3.45) аппроксимирует уравнение (3.39) с порядком О (Я ) на равномерной сетке и с порядком О (h) на неравномерной сетке. [c.90] Последнюю формулу можно трактовать как результат суммирования двух последовательных сопротивлений участков с теплопроводностями X х ) и X, (л п 1) длиной Л/2 каждый. [c.90] Подчеркнем, что если функции X, а , имеют разрывы между узлами, то для повышения точности разностной схемы, как правило, следует вычислять интегралы точно. Особенно это существенно в случае многомерных задач, когда приходится вести расчет при достаточно грубых сетках. [c.91] Мы рассмотрели построение разностной схемы методом баланса для стационарного уравнения. Его целесообразно применять и для нестационарного уравнения. В принципе вопрос о том, на каком временном слое брать аппроксимацию пространственного оператора, мы уже обсудили в 3.2. Поэтому для перехода к нестационарной задаче достаточно в приведенных выше аппроксимациях пространственного оператора поставить у сеточных функций индекс настоящего / или предыдущего (/ — 1) момента времени. Однако для уравнений, содержащих коэффициенты, зависящие от времени, целесообразно использовать метод баланса в нестационарном варианте. Кроме того, на основе такого подхода проще получать аппроксимации для граничных условий и пояснять их физический смысл. [c.91] Аппроксимация граничных условий. Перейдем к рассмотрению разностных уравнений для элементарных объемов, прилегающих к границам, в которых будут учтены граничные условия третьего рода (3.2) и которые замкнут общую систему уравнений разностной схемы. [c.92] Аналогичным образом строится разностная аппроксимация граничного условия при Л = I. [c.93] Как видно из (3.52), пренебрежение второй группой слагаемых приводит, например, к тому, что не учитывается мощность, рассеиваемая в области, прилегающей к границе на расстоянии hJ2. [c.93] Вернуться к основной статье