ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Основные понятия теории разностных схем из "Применение ЭВМ для решения задач теплообмена " Теория численных методов решения уравнений в частных производных представляет собой весьма обширный и достаточно сложный раздел математики, называемый теорией разностных схем, с которым можно познакомиться, например, по книгам [4, 14, 24, 26]. В данном учебном пособии основное внимание уделяется практическим вопросам построения и реализации на ЭВМ различных численных методик, а не их теоретическому исследованию и обоснованию. Как правило, будем ограничиваться лишь объяснением основных понятий, которые понадобятся в дальнейшем, причем некоторые вопросы рассмотрим не вполне строго с позиции математики. [c.70] При использовании численных методов ставится более скромная задача. В пространственной области выбирается некоторое конечное число значений координаты л ,, х , , Хм (узлы пространственной сетки), для временной переменной также выбирается конечное число значений То, т,,. .., Xj (узлов временной сетки). Цель — определение значений температуры в узлах пространственной сетки в моменты времени xf. [c.70] что для определения Т необходимо иметь для них какие-то уравнения, и эти уравнения следует получить из основной задачи (ЗЛ)-(З.З). [c.71] Конечную разность (7/ —называют разностью назад или левой разностью. [c.71] Вспомним, что в математике условия типа (3.6) записывают в символическом виде 6 = О (Ат). [c.71] Теперь введем терминологию, используемую в численных методах. Дискретное множество , называется пространственной сеткой, дискретное множество —временной сеткой, дискретное множество (область) 0,1, дх — пространственно-временной сеткой. [c.74] Система алгебраических уравнений (3.14), (3.15), соответствующая исходной дифференциальной задаче (3.1)—(3.3), называется разностной схемой. [c.74] Из изложенного ясно, что при решении дифференциальных уравнений численными методами можно выделить следующие этапы 1) замена исходной области непрерывного изменения переменных про-странственно-временной сеткой 2) построение разностной схемы 3) решение системы разностных уравнений. [c.74] Условие (3.17) называется условием сходимости разностной схемы. Оно должно быть выполнено. [c.75] Требование сходимости приводит, в свою очередь, к требованию выполнения для разностной схемы двух условий—аппроксимации и устойчивости. Можно доказать (см. ниже), что при наличии аппроксимации и устойчивости всегда будет иметь место и сходимость. Остановимся на понятиях аппроксимации и устойчивости подробнее, начав с первого. [c.75] Для характеристики погрешности аппроксимации псей разностной схемы вводят ее норму определяемую как и е Ц, из (3.16). [c.76] Иначе говоря, различие между уравнениями разностной схемы и точными уравнениями должно уменьшаться при уменьшении шагов Ат и h. Стремление к ну 1Ю отличительных членов и позволяет надеяться на сходимость к Т/ ведь если уравнения почти одинаковы , то н решения, по-видимому, должны быть почти одинаковы . Однако ниже мы увидим, что последний тезис не всегда справедлив, так как и при наличии аппроксимации решения могут быть не близки, если не выполняется условие устойчивости. [c.76] Если W i W О (Дт + /г ), то говорят, что имеет место аппроксимация с порядком г по времени и р по пространственной координате. [c.76] Подчеркнем, что погрешность аппроксимации не следует путать с погрешностью разностного решения первая характеризует различие между уравнениями, вторая — различие между решениями этих уравнений и и/. [c.76] Из полученных выше результатов следует, что разностное уравнение (3.11) аппроксимирует уравнение (3.1) с первым порядком по времени и вторы.м по координате. Разностные уравнения (3.13) аппроксимируют граничные условия (3.2) с первым порядком по координате. Поэтому в целом для разностной схемы (3.14), (3.15) 1 г Ц = О (Ат -f /г). Далее в 3.3 рассмотрим способ построения разностных уравнений для граничных точек, позволяющий получить второй порядок аппроксимации по координате. [c.76] Если схема не обладает устойчивостью, то при решении задачи в результате описанного процесса происходит как бы усиление-погрешности е по мере продвижения во времени. Появляется и развивается так называемая разболтка (или раскачка ) схемы, которая выражается в том, что погрешность увеличивается по модулю и меняет знак при переходе от одного временного слоя к следующему. Качественное поведение погрешности для неустойчивой схемы иллюстрирует рис. 3.3. В итоге к концу рассматриваемого временного интервала Тщах либо получается разностное решение и, не имеющее ничего общего с точными значениями температуры либо разностное решение достигает столь больших значений, что возникает останов программы из-за переполнения порядка еще до достижения конца временного интервала. [c.77] Если условие (3.21) выполняется при любом соотношении между шагами Ат и h, то схему называют безусловно устойчивой. Если устойчивость имеет место лишь при условии выполнения определенного соотношения между шагами по пространственной координате и по времени, то схему называют условно успюйчивой. [c.78] Математический анализ устойчивости разностных схем часто представляет собой достаточно сложную задачу, методы решения которой рассматриваются в книгах (4,14, 24, 251. В данном курсе будем приводить результаты исследования устойчивости различных схем без их доказательств. [c.78] Вернуться к основной статье