ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Реконструкция евклидова пространства из "Начертательная геометрия " Принятие аксио.мы Евклида о параллельности в последующем изложении приводит к определенным трудностям, вызванным тем, что рассматривая ме од проекции, составляющий основу отображения пространственных геометрических фигур на плоскость, мы обнаруживаем неоднородность евклидова пространства и погруженных в него геометрических фигур. [c.13] Действительно, пусть даны две прямые а и Ь, принадлежащие плоскости а (рис. 1). [c.13] Кроме особой точки на рис. 1 появляется еще одна точка Ак (Лл = /лПа), которая также будет отличаться от всех других точек прямой а. Отличие состоит в том, что точка Ак не имеет соответствующей ей точки на прямой Ь (т. к. 1к Ь). [c.14] Если мы обратимся к трехмерному евклидову пространству, то в нем появится множество особых точек, принадлежащих прямым т и п, по которым пересекаются плоскости аире плоскостями б и е, определяемыми пучками прямых, параллельных плоскостям а и р и принадлежащих точке 5 рис. 2. [c.14] Становится очевидным, что пользоваться моделью трехмерного пространства, построенного на предложениях, включающих аксиому о параллельности, для разработки проекционного метода, не представляется возможным. Более того, мы оказываемся перед альтернативой или принять на веру существование аксиомы о параллельности и, как следствие, признать неоднородность окружающего нас пространства, или счит ть, что пространство однородно, подвергнув сомнению существование аксиомы о параллельности. [c.14] Для того чтобы освободиться от указанных недостатков, достаточно модель трехмерного евклидова пространства подвергнуть реконструкции. [c.14] а на прямой р точка Вк однозначно соответствующая точке Аи. [c.14] Введение дополнительных несобственных точек позволяет сделать следующее предложение параллельные прямые Una пересекаются в несобственной (бесконечно удаленной) точке Ai, а прямая Ih, параллельная прямой Ь, пересечет ее в несобственной точке Вк. В этом случае плоскость а будет однородной. [c.15] для реконструкции евклидовой плоскости достаточно множество точек, принадлежащих прямой, дополнить несобственной точкой, которая должна принадлежать также всем прямым, параллельным данной. [c.15] Добиться однородности трехмерного евклидова пространства можно путем добавления к нему несобственных прямых (бесконечно удаленных прямых). Тогда плоскости а и б, как и плоскости р и е, пересекутся по несобственным прямым п , и Шоо (рис. 2). [c.15] Вернуться к основной статье