ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Эллипс как кривая, аффинно соответственная окружности из "Начертательная геометрия 1963 " Такое определение эллипса позволяет установить его свойства на основании выяснения аффинных свойств окружности. [c.34] Определение. Два диаметра, каждый из которых делит пополам хорды, параллельные другому диаметру, называются сопряженными. [c.35] Пусть имеем эллипс с центром в точке О. Требуется построить касательную в точке В эллипса. Для этого проводим диаметр А О В эллипса и строим сопряженный ему диаметр СО. Последний можно легко построить, проведя хорду Р Q и разделив ее пополам в точке М, тогда диаметр 0 М = =С 0 П и явится сопряженным с диаметром А В . Остается через точку В провести прямую, параллельную диаметру СО. Эта прямая и будет касательной к эллипсу в точке В. [c.36] Покажем, что построенный эллипс является единственным эллипсом, имеющим пару сопряженных диаметров А В, СО ). Предположим, что имеется эллипс с той же парой сопряженных диаметров, но полученный при помощи другого построения. Докажем, что этот второй эллипс совпадает с первым. [c.36] Пусть имеем окружность 0 АВ, СО) поля П и родственный ей эллипс (У А В, СО ) поля П. Если АВ п СО— пара взаимно перпендикулярных диаметров, а М — произвольная точка окружности, то построим соответственную точку М эллипса в поле П. Проведем прямую ВМ до пересечения ее с прямой АС в точке Л (рис. 28). В треугольнике АВА/ прямые АМ кВС являются высотами. Обозначим точку пересечения высот буквой Р. Тогда третья высота из вершины N на сторону АВ пройдет, очевидно, через точку Р. Рассмотрим, что будет соответствовать этим построениям в родственном поле П, Окружность 0(АВ, СО) перейдет в эллипс 0 (А В, СО ). При этом взаимно перпендикулярные, а следовательно, и сопряженные диаметры окружности (/4В СП) перейдут в сопряженные диаметры эллипса (А В, С С). Треугольник ABN перейдет в треугольник А В N. Отрезку ВС будет соответствовать отрезок В С. Прямая УР, как параллельная диаметру СО, перейдет в прямую V Р, параллельную диаметру эллипса СС. Тогда третья высота АМ треугольника ABN перейдет в прямую А М (рис. 28,6). Таким образом, получаем построение эллипса по точкам, основанное на его родстве с окружностью. Коротко это построение сводится к следующему (см. рис. 28). Пусть эллипс задан сопряженными диаметрами А В , СО . На прямой А С берем произвольную точку N, которую соединяем с точкой В. [c.37] Тогда искомая точка эллипса М находится как точка пересечения прямых А Р и В У (М = А Р X B N ). На рис. 29 выполнено такое построение эллипса по точкам. [c.38] Как мы видели, эллипс может быть определен двумя сопряженными диаметрами и построен при помощи конструкции, показанной на чертеже (см. рис. 28,6). Если эту конструкцию мы спроектируем на новую плоскость проекций П , то получим аналогичную конструкцию на плоскости П . Эта конструкция определит нам новый эллипс, являющийся проекцией эллипса-оригинала на плоскости П. Следовательно, параллельная проекция эллипса есть эллипс. [c.38] О применении этих выводов можно сказать следующее. Пусть имеем цилиндр вращения. Пересечем его произвольной плоскостью, не параллельной образующей цилиндра. Тогда в сечении получим кривую, которая является эллипсом. В самом деле, эту кривую можем рассматривать как фигуру, являющуюся параллельной проекцией окружности основания цилиндра. [c.38] Вообще можно сказать, что плоское сечение любого цилиндра с эллиптическим основанием является эллипсом, как это видно из сделанных выше выводов о параллельной проекции эллипса (рис. 30). [c.38] Ва может оказаться прямым, тогда получим четырехугольник МА И1 В с прямыми углами при вершинах А1 и М. Как известно, около такого четырехугольника можно описать окружность. Диаметром этой окружности будет служить отрезок А В , на который опираются прямые углы. Центр этой окружности определяется как точка пересечения перпендикуляра, восстановленного в точке Л — середине отрезка ММ прямой а,. На этом основании получаем построение так называемых главных направлений родственных полей П и П. [c.38] Отмечая точки пересечения и Вц упомянутой окружности с осью родства находим две пары взаимно перпендикулярных прямых, соответствующих друг другу в родстве полей П и П. [c.39] Такие пары соответственных взаимно перпендикулярных прямых носят название главных направлений родственных полей П и П. [c.39] Заметим, что, как видно из чертежа (см. рис. 31), задача построения в точках М и М двух пар главных направлений имеет единственное решение. Это означает, что через каждую из соответственных точек родственных полей проходит единственная пара главных направлений. [c.39] В частном случае прямая МСц может оказаться параллельной оси родства, когда направление родства перпендикулярно к оси родства. Однако и в этом случае для каждой пары соответственных точек родственных полей Л1 и УИ будем иметь пару главных направлений одно из них совпадает с направлением ММ родства, а другое параллельно оси родства. [c.39] Ичменяя положение точки М на окружности, построим сколько угодно соответственных точек эллипса (рис. 35). [c.41] На основании рис. 34 легко решать следующую задачу. Даны точка М и ось А В эллипса. Требуется построить вторую ось О С эллипса. [c.41] Фигура ОРР N представляет собой равнобедренную трапецию. Поэтому имеем Р N= РО=Ь и аналогично Р М = РО а. Отсюда заключаем, что длина отрезка MN постоянна и равна сумме а+Ь полуосей эллипса для любого положения точек Р и Р. [c.42] Если отрезок МЛ постоянной длины перемещается, скользя своими концами по двум взаимно перпендикулярны.м прямым, то любая точка Р этого отрезка опишет эллипс, полуосями которого служат отрезки а и Ь (Р М = а, Р Л=Ь). [c.42] На этом принципе основан так называемый эллиптический циркуль — прибор, вычерчивающий эллипсы с данными размерами его полуосей (рис. 37). [c.42] Дана пара сопряженных диаметров эллипса. Требуется найти оси эллипса. [c.42] Вернуться к основной статье