ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Параллельное проектирование. Перспективно-аффинное (родственсоответствие плоских полей и его свойства из "Начертательная геометрия 1963 " Для доказательства рассмотрим на плоскости П две какие-либо параллельные прямые а Ь). Спроектируем эти прямые по направлению а на плоскость П (рис. 17). Плоскости Фив, проектирующие прямые а и Ь, параллельны, как содержащие две пары соответственно параллельных прямых (а, А А -, Ь,ВВ ). Проекции а и Ъ являются линиями пересечения этих плоскостей с плоскостью П, следовательно, они параллельны. [c.29] Эта формула и выражает свойства сохранения простого отношения трех точек в родственном соответствии. [c.30] Предположим, что точкам А и В соответствуют точки Л и В (рис. 19). Опуская из этих точек перпендикуляры на ось получим расстояния их до оси. Расстояния будем всегда рассматривать положительными независимо от направления перпендикуляров. [c.30] Обозначим постоянное отношение расстояний соответственных точен через к. [c.30] ААВС = к-(АУ ХоС —АУ,В А —АУ,Х,В ) =к-АА В С. [c.31] Обозначим площади, ограниченные двумя соответственными кривыми, черезД иД. Впишем многоугольник в кривую, ограничивающую площадьЛ, и обозначим площадь этого многоугольника буквой S . [c.31] Таким образом, отношение двух каких-либо площадей не изменяется, т. е. является инвариантом перспективно-аффинного соответствия. [c.32] Весьма важно рассмотреть тот случай родственного соответствия, когда оба поля лежат в одной и той же плоскости. К этому случаю приходим, вращая плоскость П вокруг оси родства о до ее совмещения с плоскостью П. При этом все свойства родственных полей сохраняют свою силу, так как эти поля на плоскостях П и П остаются во время вращения без изменения (рис. 21). [c.32] В самом деле, для построения точки В, соответствующей данной точке В, поступаем следующим образом. Прямые А В и АВ, как соответственные, должны пересекаться на оси Зо в двойной точке последней, которую определяет данная прямая АВ 0=АВ х Зо)- Отсюда находим соответствен. [c.32] Аналогично можно построить и точку С поля П, соответственную данной точке С поля П (см. рис. 22). [c.33] Из сказанного видно, что задание оси родства и пары соответственных точек вполне определяет родственное соответствие. Если перегнем чертеж (см. рис. 18 и 21) по оси родства то поле П окажется параллельной проекцией поля П, что вытекает из свойств родственного соответствия (сохраняется простое отношение трех точек, а следовательно, и параллельность линий связи). [c.33] Как видно из чертежа, упомянутый способ построения соответственных прямых может быть применен при любом расположении данных. Этот способ можно назвать способом подобных треугольников (в самом деле, треугольники АА А подобен треугольнику ВВцВ ). [c.33] Другими словами, родственные поля имеют параллельно-перспективное расположение. [c.34] Вращение одной из плоскостей вокруг линии их пересечения (оси родства) не нарушало параллельно-перспективного расположения родственных полей. Можно, однако, изменить положение плоскости одного из родственных полей так, что последние уже не будут находиться в параллельно-перспективном расположении, характерном для родственного соответствия. В этом случае взаимно однозначное соответствие полей называется аффинным соответствием. Для пего остаются в силе свойства родственного соответствия полей, приведенные нами выше, но отпадает лишь параллельно-перспективное расположение полей. [c.34] Таким образом, под аффинным соответствием плоских полей мы будем понимать такое коллинеарное соответствие, в котором не нарушается параллельность прямых, а также простое отношение трех точек. [c.34] В частности, если данное плоское поле П подвергнем преобразовнию подобия, то получим поле П, которое, очевидно, является а инным полю П. Это следует из того, что параллельным линиям первого поля будут после подобного преобразования соответствовать параллельные линии второго поля. Таким образом, подобие есть аффинное преобразование . [c.34] Вернуться к основной статье