ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теорема Дезарга. Перспективная коллинеация. Гомология из "Начертательная геометрия 1963 " В случае перспективной коллинеации прямая з пересечения плоскостей П и П является особой прямой перспективной коллинеации. Каждая точка этой прямой о является двойной точкой. Действительно, рассматривая точку А как точку поля П, видим, что ее проекция с ней совпадает. Поэтому прямая является двойной прямой перспективной коллинеации (проекция прямой совпадает с прямой-оригиналом). Прямая называется осью перспективной коллинеации. [c.25] Предположим, что треугольники АВС и А В С представляют собой соответственные фигуры перспективной коллинеации. Если обозначим через 5 центр проектирования, то пары соответственных вершин А и А, В и В, С и С окажутся лежащими на проектирующих прямых, проходящих через 5. [c.25] Таким образом, мы приходим к формулировке весьма важной теоремы проективной геометрии, известной под названием теоремы Дезарга . [c.26] Заметим, что справедлива также обратная теорема Дезарга. [c.26] В частном случае, когда два треугольника АВС и А В С лежат в одной плоскости, справедлива теорема Дезарга для плоскости, формулировка которой отличается от приведенной выше лишь отсутствием п. 1, так как стороны треугольников, расположенные в одной плоскости, всегда пересекаются. [c.26] Теорема Дезарга для плоскости. Если два треугольника АВС и А В С расположены в одной плоскости так, что прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников, пересекаются в одной точке 8, то три точки пересечения трех пар соответственных сторон треугольников (Ад=ВС X В С, Вд=СА X С А , Сд=АВ X А В ) лежат на одной прямой (рис. 14). [c.26] Доказательство теоремы Дезарга для плоскости требует применения пространственных построений, в частности, оно может быть получено с помощью метода центрального проектирования . [c.26] Двойная прямая, на которой лежат точки пересечения пар соответственных прямых обоих полей, называется осью гомологии. Точка пересечения прямых, соединяющих соответственные точки полей, называется центром гомологии. [c.28] Полезно отметить, что центр гомологии 5 является особой двойной точкой, именно такой точкой, которая не только сама себе соответствует, но и обладает тем свойством, что все проходящие через нее прямые являются двойными. [c.28] Равным образом ось гомологии является особой двойной прямой, причем все ее точки также двойные. Заметим, что проектирующие прямые, хотя и являются двойными, но имеют лищь по две двойные точки (точку пересечения с осью гомологии и центр гомологии). [c.28] Вернуться к основной статье