ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Геометрические преобразования 1- Евклидово пространство и его дополнение несобственными (бесконечно удаленными) элементами из "Начертательная геометрия 1963 " Эта задача, как уже было сказано, имеет весьма большое значение в технической практике. В самом деле, на производстве изготовляют изделие по его проекционным чертежам, которые должны полностью определять размеры и форму этого изделия. Отсюда ясно, что обратная задача имеет важное как теоретическое, так и практическое значение. [c.17] Если мы имеем изображение предмета, выполненное в центральной или параллельной проекции, то совершенно очевидно, что только по одному такому изображению невозможно определить натуральный объект. Так, по проекции А В отрезка АВ на рис. 6 нельзя судить о размерах проектируемого отрезка. Длина этого отрезка может изменяться в зависимости от расположения точек А я В на проектирующих линиях. Таким образом, рассмотренные нами проекционные чертежи не позволяют определить натурального объекта, т. е. не обладают свойством обратимости . [c.17] Возникает вопрос о том, как следует дополнить проекционный чертеж, чтобы сделать его обратимым , т. е. чертежом, вполне определяющим проектируемый объект. [c.17] Особенно важно изучить в начертательной геометрии способы построения именно обратимых чертежей. [c.17] Остановимся на одном из таких способов, который известен под названием проекций с высотными (или числовыми) отметками . [c.17] Этот способ основан на том, что положение точки в пространстве по отношению к плоскости проекций будет вполне определено, если наряду с проекцией точки будет задана также высота точки, т. е. ее расстояние от плоскости проекций. [c.17] например, для натуральной точки А дана ее ортогональная проекция А и известна высота точки = А А (см. рис. 6). Тогда находим положение натуральной точки А в пространстве, если в точке А восставим перпендикуляр А А к плоскости П, длина которого равна высоте йд точки А. [c.17] Как видно из рис. 7, б, чертеж с высотными отметками не обладает наглядностью, так как на нем показаны лишь проекции точек и не изображено их пространственное расположение. Однако он является обратимым. Последнее ясно из того, что, имея чертеж с числовыми отметками, мы можем восстановить в пространстве точное расположение всех изображенных точек и, следовательно, определить форму и размеры натурального объекта. [c.18] Направление всех этих отрезков выбирают произвольно, но отрезки дожны быть параллельны между собой. [c.18] Следует отметить, что для точек, расположенных выше плоскости проекций, которая предполагается горизонтальной, высотные отрезки, а также числовые отметки считаются положительными. Для точек, расположенных ниже плоскости, они считаются отрицательными. [c.18] Положительные и отрицательные высотные отрезки в федоровских проекциях отличаются противоположным направлением. Так, на рис. 7,в высотные отрезки А А и В В являются положительными, а высотный отрезок С С — отрицательным. [c.18] Вполне очевидно, что чертежи в федоровских проекциях обратимы и на них можно решать пространственные задачи, связанные с изображенными фигурами. [c.18] Федоровский способ отличается тем, что все необходимые данные (проекции и высоты точек) задают графически на чертеже. [c.18] Описанные способы построения проекционных чертежей, обладающих свойством обратимости (проекции с числовыми отметками, федоровские проекции , циклография), применяют главным образом в работах топографического характера и вообще в земляных, дорожных и других работах. В последнее время с большим успехом федоровские проекции применяют, в частности, в угольной промышленности. [c.19] Дальнейшее развитие геометрической науки привело к новым обобщениям свойств геометрического пространства, отображающего действительность. [c.21] Таким образом, точечное соответствие, установленное между прямыми р л р при помощи метода центрального проектирования, обладает существенным недостатком, без устранения которого невозможно осуществлять центральное проектирование. [c.22] Рассмотренный выше случай проектирования точек прямой линии на другую прямую линию дает нам указания, каким образом следует дополнить евклидово пространство несобственными элементами. Чтобы получить соответствующие элементы в тех случаях, когда их не оказывается при выполнении операции проектирования, достаточно потребовать, чтобы две параллельные прямые считались пересекающимися, причем точку пересечения их будем называть несобственной точкой (в отличие от точек евклидова пространства, являющихся собственными точками). Тогда для каждой точки-оригинала прямой р мы будем иметь соответствующую точку-проекцию прямой р, причем эта последняя точка может быть и несобственной. То же самое можно сказать и о точках прямой р, к которым при помощи проектирования относят точки-оригиналы прямой р, причем в одном случае (когда проектирующий луч параллелен прямой р ) эта точка будет несобственной. [c.22] Заметим, что все прямые пространства, параллельные между собой, проходят через одну и ту же несобственную, или бесконечно удаленную, точку. [c.23] Так как каждая прямая этой плоскости имеет единственную несобственную точку, то она должна пересекать упомянутое геометрическое место в одной точке. Отсюда следует, что геометрическое место несобственных точек плоскости целесообразно считать прямой линией. Таким образом, на каждой плоскости будем иметь несобственную, или бесконечно удаленную, прямую. [c.23] Рассмотрим далее две параллельные плоскости (Й Ф) (рис.12). Если в этих плоскостях проведем две какие-либо параллельные между собой прямые, то они пересекутся в несобственной точке. Последняя должна принадлежать как одной, так и другой из параллельных плоскостей. Поэтому мы можем сказать, что каждая несобственная точка одной из параллельных плоскостей принадлежит также и второй плоскости. Другими словами, данные параллельные плоскости имеют общую несобственную прямую. Следовательно, в евклидовом пространстве, дополненном несобственными точками, каждые две параллельные плоскости пересекаются по несобственной, или бесконечно удаленной, прямой линии. Совокупность плоскостей, параллельных какой-либо одной плоскости, будет иметь одну общую несобственную прямую. Таким образом, наряду с пучками плоскостей, имеющими собственную ось (совокупность плоскостей, проходящих через собственную прямую), в нашем пространстве появятся пучки плоскостей с несобственной осью (т. е. совокупность плоскостей, параллельных какой-либо одной плоскости). [c.23] Вернуться к основной статье