ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Главные оси и главные напряжения из "Сопротивление материалов " Полученное соотношение мало что говорит о законах изменения напряжений в точке, зато оно дает уравнение центральной поверхности второго порядка. А из курса аналитической геометрии известно, что путем поворота системы координат это уравнение может быть преобразовано таким образом, что в нем исчезнут попарные произведения координат, или, иначе говоря, обратятся в нуль коэффициенты при членах попарных произведений. В данном случае это значит, что в каждой точке напряженного тела существует такая система осей х, у, г, в которой касательные напряжения Ху , и х у равны нулю. Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, анормальные напряжения на них — главными напряжениями. [c.259] В порядке возрастания эти напряжения обозначаются через 08, Oj и Oj. [c.259] Достигается это надлежащим выбором величины S. Если условие (7.7) выполнено, одно из трех уравнений (7.5) представляет собой линейную комбинацию двух других, которые совместно с условием (7.6) образуют новую систему, достаточную для нахождения величин I, т и п, определяющих положение главных площадок. Эту часть задачи мы оставим, однако, без рассмотрения и перейдем к определению главных напряжений S из уравнения (7.7). [c.261] Понятно, что главные напряжения, т. е. корни уравнения (7.8), определяются характером напряженного состояния и не зависят от того, какая система осей была принята в качестве исходной. Следовательно, при повороте системы осей хуг коэффищ1енты Ji, J и Jа уравнения (7.8) должны оставаться неизменными. Они называются инвариантами напряженного состояния. [c.261] ЧТО напряженное состояние является двухосным, или плос-ким. В частности, уже знакомое нам напряженное состоя- ние чистого сдвига представляет собой двухосное напряженное состояние, для которого ai=—сГд и сГа=0. [c.262] Рассмотрим некоторые примеры определения главных напряжений. [c.262] Пример 7.2. Определить главные напряжения в случае, если все компоненты напряженного состояния равны между собой (рис. 285, а). [c.262] Согласно выражениям (7.9) и (7.8) имеем Ji= =Зо, У2=Уз=0 i=3o, О2=Сз=0. Следовательно, заданное напряженное состояние представляет собой одноосное растяжение. [c.262] Полученному результату можно дать простое объяснение, если учесть, что элемент может быть выделен из растянутого стержня любым образом. Очевидно, если три секущие площадки равнонакло-нены к оси растянутого стержня, в гранях элемента как раз и возникают равные составляющие напряженного состояния (рис. 286). [c.262] Поскольку при изменении ориентации секущих площадок напряженное состояние не меняется, полученное решение может быть представлено в виде символического равенства (рис. 285). [c.262] исследуя напряженное состояние, мы обнаружили существование трех взаимно перпендикулярных площадок, обладающих тем замечательным свойством, что касательные напряжения в них равны нулю, и назвали эти площадки главными. Но существуют и другие площадки, также обладающие важными и интересными особенностями, знакомство с которыми понадобится нам в дальнейшем. [c.263] Как видим, — величина существенно положительная и на главных площадках, как и положено, обращается в нуль. Действительно, если нормаль v совпадает с одной из главных осей, то один из направляющих косинусов принимает значение, равное единице, а два других равны нулю, и тогда т =0. [c.264] Таким образом, нормальное октаэдрическое напряжение равно среднему арифметическому трех главных напряжений. [c.264] Вернуться к основной статье