ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определение напряжений в произвольно ориентированной площадке из "Сопротивление материалов " Уже на примерах растяжения и сдвига мы имели возможность убедиться в том, что напряжения в площадке, проходящей через заданную точку напряженного тела, зависят от ее ориентации. С поворотом площадки меняются в определенной зависимости и напряжения. Совокупность напряжений, возникающих во множестве площадок, проходящих через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в точке. Напряженное состояние поддается анализу не только в частных случаях растяжения и сдвига но и в общем случае нагружения тела. В настоящей главе этот вопрос и будет рассмотрен. Заметим, что исследование законов изменения напряжений в точке не является чисто отвлеченным. Оно необходимо для последующего решения более сложных задач, и в первую очередь для расчетов на прочность в общих случаях нагружения. [c.252] Положим, имеется некоторое тело (не обязательно упругое), нагруженное произвольной системой сил (рис. 276). При переходе от точки к точке напряженное состояние меняется достаточно медленно и всегда имеется возможность выбрать в окрестности произвольно взятой точки А (рис. 276) такую достаточно малую область, для которой напряженное состояние можно было бы рассматривать как однородное. Понятно, что такой подход возможен только в пределах принятой ранее гипотезы сплошной среды, допускающей переход к предельно малым объемам. [c.252] Полное напряжение, возникающее на секущей площадке, может быть разложено на три составляющие одну по нормали к площадке и две в плоскости сечения. Нормальное напряжение будем обозначать по-прежнему буквой а с индексом, соответствующим осям х, у и г (рис. 277). Касательное напряжение обозначим буквой т с двумя индексами первый соответствует оси, перпендикулярной к площадке, а второй — оси, вдоль которой направлен вектор т. Ориентация самих осей является произвольной. [c.253] Нормальные растягивающие напряжения а будем считать положительными, сжимающие — отрицательными. Что касается знака напряжений т, то здесь обусловливать его не будем, поскольку в пределах рассматриваемых ниже задач знак т роли не играет. [c.253] Напряжения, возникающие на трех гранях элемента (на трех взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через точку) показаны на рис. 277. На невидимых гранях элемента возникают соответственно такие же напряжения, но противоположно направленные. [c.253] Таким образом, на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены обе либо к ребру, либо от ребра. Это и есть закон парности касательных напряжений, сформулированный в общем виде (см. также 12). Он справедлив для всех точек нагруженного тела, независимо от вида приложенных нагрузок и свойств материала. Следствием из условия парности касательных напряжений является то, что на гранях выделенного элемента (рис. 277) имеем не девять, а только шесть независимых компонент напряжений, поскольку касательные напряжения попарно равны. [c.254] Анализ напряженного состояния в точке начинается всегда с определения напряжений на гранях выделенного в окрестности точки элемента. Через точку проводится три взаимно перпендикулярные плоскости, ориентация которых может быть произвольной, но выбирается так, чтобы напряжения в площадках могли бы быть определены наиболее простым путем. [c.254] Пример 7.1. Выявить напряженное состояние в точках А к В растянутого и одновременно закрученного стержня (рис. 278, а). [c.254] В окрестности заданных точек секущими плоскостями выделяем элементарный объем. Ориентация плоскостей выбирается таким образом, чтобы напряжения можно было определить возможно более простым способом. В данном случае естественной является ориентация плоскостей вдоль и поперек оси стержня. На рис. 278, а секущие плоскости в окрестности точек Л и В показаны штриховыми линиями. Выделенные элементы выносятся далее за пределы нагруженного тела и изображаются в увеличенном масштабе с сохранением ориентации плоскостей (рис. 278, б и в). [c.254] Если даио шесть компонент напряженного состояния, а именно о,,, а , Ту , и т у в трех взаимно перпендикулярных площадках, то можно определить напряжения в любой площадке, проходящей через данную точку. [c.255] Из напряженного тела (рис. 276) еще раз выделим в окрестности точки А элементарный объем, но уже не в виде параллелепипеда, как было сделано ранее, а в виде четырехгранника (рис. 279). Три грани выделенного элемента лежат в координатных плоскостях системы Axyz. Четвертая грань образована произвольной секущей плоскостью. Ее ориентацию в пространстве будем определять направляющими косинусами /, т, п нормали v к секущей плоскости. [c.255] Элементарный четырехгранник обладает темн же свойствами, что и рассмотренный выше параллелепипед. При уменьшении размеров он стягивается в точку Л, и в пределе все его грани проходят через эту точку. Поэтому напряжения на гранях элемента рассматривают как напряжеР1ия в исследуемой точке на соответствующим образом ориентированных площадках. [c.255] Таким образом, действительно для любой площадки, определяемой направляющими косинусами I, т и п, проекции X, Y tt Z выражаются через шесть исходных компонент Tj., Gy, (Tj, Ту2, tzx И Иными словами, напряженное состояние в точке определяется шестью компонентами. [c.257] При помощи формул (7.3) легко определяется вектор полного напряжения на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку (рис. 280). [c.257] Напряженное состояние в точке представляет собой понятие, более сложное чем те, которыми мы оперировали до сих пор. [c.257] Если взамен исходной системы осей д , у, z выбрать какую-то новую систему, компоненты тензора изменятся, т. е. значения а ., а ,. .. будут иными. Однако сам тензор напряженного состояния остается тем же. Сказанное легко поясняется на примере вектора, показанного на рис. 281. [c.257] Компоненты вектора, как видим, изменились, но сам вектор остался неизменным. [c.258] Остановимся более подробно на некоторых свойствах напряженного состояния в связи с преобразованием системы координат. [c.258] Вернуться к основной статье