ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вводные замечапня. Основные понятия вариационного псчисления из "Основы теории упругости и пластичности " Многие задачи прикладной теории упругости удается решать лишь приближенными методами, среди которых важное место занимают вариационные методы и в первую очередь те, которые основаны на применении начала возможных перемеш ений Лаграннга. [c.189] В связи с широким использованием вычислительных машин по-новому оцениваются возможности численных методов решения дифференциальных уравнений, таких, как конечно-разностный метод (метод сеток). [c.189] В последние годы большое количество решений задач прикладной теории упругости получено с помощью метода конечных элементов. [c.189] В настоящей главе будут рассмотрены лишь наиболее часто применяемые при решении задач прикладной теории упругости вариационные и другие приблиншнные методы (методы Ритца, Бубнова — Галеркина, Канторовича — Власова, сеток, конечных элементов). [c.189] Прежде чем излагать суть вариационных методов, поясним некоторые основные понятия. В инженерной практике наряду с задачами, в которых отыскивается экстремум некоторой функции у = fix), встречаются и такие, в которых необходимо отыскать экстремум такой переменной Z, которая сама зависит от выбора функции у(х). Такие переменные Z называются функционалами. [c.189] Сравнивая функционал и функцию, можно заметить, что они являются переменными, однако первый зависит от вида функции yix), а вторая —от величины аргумента х. В одном случае, изменяя вид функции yix), т.е. варьируя функцию, мы изменяем величину функционала, а во втором — изменяя величину пезавпеимого переменного х, влияем на величину функции. [c.189] При отыскании экстремума функции мы отыскиваем такое значение аргумента х, которое сообщает функции /(х) максимум или минимум. [c.190] В вариационных задачах необходимо отыскать такой вид функции (/(ж), при котором функционал Ъ приобретает максимальное или минимальное значение. [c.190] Классическим примером вариационной задачи является задача о брахистохроне — линии быстрейшего ската, предложенная в 1696 г. И. Бернулли. Между точками А ж В, не лежащими на вертикали, требуется провести линию, по которой материальная точка в минимальное время скатится из точки А в точку В (рис. 8.1). Здесь роль функционала выполняет время i перемещения из точки 1 в точку В, а уравнение у (ж) кривой, проходящей через точки А и В,— искомая функция. [c.190] Отметим, что методы решения вариационных задач, т. е. задач отыскания функций, сообщающих функционалу максимум или минимум, во многом сходны с исследованием функций на максимум и минимум. [c.190] В задачах на максимум и минимум независимому переменному X дается приращение Дд -=л —равное дифференциалу д,х. В вариационных задачах дается приращение (или вариация) Ьу искомой функции у х), равное бу = = у[х) — У1(х). [c.190] Как в дифференциальном исчислении дифференциал функции представляет собой линейную по отношению к приращению аргумента Да часть приращения функции, так и в вариационном исчислении вариация функционала 62 представляет собой линейную по отношению к вариации функции бу часть функционала. [c.190] Если функция у = х) достигает экстремума внутри заданного интервала значений аргумента х, дифференциал йу — 0. Аналогично, если функционал достигает экстремума, то его вариация равна нулю 62 = 0. [c.190] Перечисленные нами ранее вариационные методы решения задач относятся к так называемым прямым вариационным методам. [c.190] Вернуться к основной статье