ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Полуобратпый метод Сеи-Венана. Задача Сен-Венана Принцип Сен-Вепапа из "Основы теории упругости и пластичности " Покажем, что найденное решение задачи линейной теории упругости будет единственным. [c.56] Третье решение, равное разности двух решений, удовлетворяющих всем уравнениям теории упругости, мо кно трактовать как решение задачи линейной теории упругости рассматриваемого тела при условии, что объемные и поверхностные силы отсутствуют, а перемещения , г , ю на границах тела равны нулю. [c.57] Это И доказывает единственность решения задач линей- ной теории упругости. [c.57] Что касается перемещений, то они могут отличаться на величину, характеризующую перемещение твердого тела в том случае, когда на поверхности тела заданы только силы, а перемещения точек тела не заданы. [c.57] Как уже отмечалось, решение задач теории упругости в прямой постановке (в перемещениях либо напряжениях) представляет очень большие сложности и общих методов решеипя задач в такой постановке пока не существует, Обратная постановка задач часто не соответствует потребностям практики, так как жизнь обычно ставит задачи в прямой постановке. Прп этом известны граничные условия, и требуется определить поло напряжений, деформаций п перемещений, соответствующих заданным граничным условиям. [c.58] Сеп-Венаиом был предло кеп так называемый полуобрат-пый метод (1853 г.), суть которого состоит в том, что при решении задачи теории упругости задаются частью компонент перемещений и частью компонент напряжений, а недостающие компоненты определяются из уравнений теории упругости так, чтобы удовлетворялись все уравнения теории упругости и граничные условия. Этим методом Сеп-Венан решил задачи о кручении бруса некруглого сечения и об изгибе бруса. [c.58] Заметим, что, несмотря на то, что в полуобратпом методе частью компонент перемещений и напряжений мояшо задаваться, однако, поскольку все компоненты напряжений и перемещений в конечном счете удовлетворяют всем уравнениям теории упругости, полученное решение является точным решением задачи. [c.58] Конечно, полуобратный метод не является общим. Он требует определенной интуиции для того, чтобы удачно задаться частью компонент перемещений и напряжений. Однако этот метод может быть полезен при решении некоторых задач теории упругости. [c.58] В качестве примера применения полуобратного метода Сея-Венаиа рассмотрим решение задачи о кручении бруса постоянного сечения произвольной формы. [c.58] Из первых двух уравнений (3.6) следует, что напряжения т , Хуг не зависят от координаты 2, т. е. распределение касательных напряжений по сечению для всех сечений бруса одинаково. [c.59] Это означает, что функция напрян ений ф всюду на контуре имеет одинаковое значение. В частности, для бруса сплошного, поперечного сечения можно принимать его равным нулю. [c.60] Таким образом, задача о кручении бруса сводится к отысканию такой функции напряжений ф, которая бы удовлетворяла уравнению (3.10) и всюду на контуре была бы равна нулю. [c.60] 12) найдем выражение для С через скручивающий момент Мц . [c.60] При кручении ось бруса 2 остается неподвижной и сечения поворачиваются относительно этой оси так, чтобы удовлетворялись уравнения (3.18). Прямая, точки которой при кручении бруса остаются неподвижными, называется осью Кручения. Следовательно, ось бруса г является осью кручения. [c.61] У распределены по торцам бруса по тому же закону, что, И Тх1( Т-уц Т. е. согласно уравнениям (3.17), а депланация сечений не стеснена. [c.62] Распределение напряжений и деформаций для внутренних точек тела при достаточном удалении их от границ тела слабо зависит от характера распределения внешней нагрузки на границах тела. Таким образом, если на некоторой части поверхности тела изменить закон распределения внешней нагрузки так, что видоизмененная нагрузка будет статически эквивалентна прежней, то такое изменение приведет лишь к изменению напряженного и деформированного состояния в области тела, прилегающей к нагруженному участку, т. е. местных напряжений. Напряженное и деформированное состояние тела вдали от места нагружения при этом почти не изменяется. Это утверждение получило наименование принципа Сен-Венана. [c.62] Таким образом, полученное решение задачи о кручении бруса эллиптического сечения согласно принципу (Зен-Ве-нана справедливо для сечений, достаточно удаленны от торцов, при любом распределении внешних нагрузок X, У по торцу бруса. [c.62] Вернуться к основной статье