ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Некоторые характеристики материала, оценивающие сопротивление распространению трещины из "Механика упругопластического разрушения " Уравнения (14.9) и (14.12) являются сингулярными интегральными уравнениями, так как матрицы Г, и Гг имеют особенности второго порядка. Интегралы в них следует понимать в смысле главного значения. [c.102] Как правило, интегральные уравнения решают численно методом последовательных приближений или методом механических квадратур [231]. Ясно, что в любом случае требуется чис-леипо вычислять сингулярные интегралы. Существуют два основных подхода к решению этого вопроса. [c.103] В силу того, что функция ф(р) удовлетворяет условию Гельдера, а также в силу структуры ядер Fi и Гг, интегралы в правых частях являются обычными несобственными интегралами, для вычисления которых можно применять известные кубатурные формулы. [c.103] Согласно условиям разрешимости исходной задачи первый интеграл в правой части (14.22) пропадает, так как условие (14.21) имеет ясный физический смысл оно означает условие уравновешенности внешних сил, приложенных к телу. [c.104] Перемещения и напряжения в области находятся интегрированием известных теперь функций по поверхности, причем интегрирование можно производить в той же сетке разбиения поверхности, при которой решалось интегральное уравнение. Для на- рд,. 4 Схема разбиения поверхно-хожденЕЯ перемещений и на- сти тела сеткой малых элементов р — пряжений в точках, расноло- основная точка, д — опорная точка, женных близко к поверхности, следует ввести вторичную дискретизацию части поверхности, отстоящей от них ближе диаметра элементов разбиения. Значение плотности при этом в дополнительных точках находится интерполяцией. Напряжения на границе можно определить экстраполированием из области, вычислив их значения в нескольких точках, расположенных, например, на нормали к поверхности на различном от нее расстоянии. В случае второй основной задачи напряжения на границе можно определить, дифференцируя численно значения перемещений, вычисленных на границе. Если использовать краевое условие, то при этом не требуется вычисления перемещений в области. [c.105] Решение этой системы производится с помощью стандартных матричных преобразований. [c.105] Реализация метода механических квадратур менее предпочтительна по сравнению с методом последовательных приближений. Для второй внутренней задачи получается вырожденная система, для которой требуется разработка специальных методов решения. Кроме того, вопрос о сходимости метода механических квадратур остается открытым, тогда как сходимость метода последовательных приближений доказана. [c.105] Метод решения Разбиение (число степеней свободы) oV па Погрешность, % Время работы центрального процессора, с. [c.107] Отметим, что применение общего подхода, связанного с методом потенциала, к решению задач для тел с трещинами невозможно из-за вырожденности задачи. Для того чтобы получить решение этой задачи, трещина заменяется полостью конечной ширины (соответствующим образом преобразуются и краевые условия на берегах трещины). Если имеется совокупность полостей, охватывающих трещину и стремящихся в пределе к ее поверхности, то решая ряд задач, внешних по отношению к полостям, в пределе получим решение исходной задачи. Естественно, это возможно, если справедлив предельный переход. Дело в том, что при решении задачи методом потенциала на границе задается плотность потенциала простого слоя, представляющего собой перемещения. При вырождении полости в разрез потенциал простого слоя вырождается в потенциал двойного слоя при этом значение плотности бесконечно возрастает. Поэтому следует ожидать плохую сходимость метода последовательных приближений, а при решении задачи методом механических квадратур — ухудшение структуры системы линейных алгебраических уравнений. [c.108] Это обстоятельство и используется далее для определения коэффициента интенсивности напряжений. [c.108] Умножим обе части на Иг и разложим по степеням г. [c.109] что коэффициент К характеризует напряженное состояние в очень малой окрестности кромки. [c.109] Приведенный выше анализ напряженного состояния впереди на продолжении разреза позволяет сделать вывод, что коэффициент интенсивности напряжений можно найти путем экстраполяции. [c.109] В таблице 14.6 приведены значения напряжений Оу для разреза (оу) и для эллипса (а ) при Ь/а = 1/10. Видно, что напряжения практически совпадают при г Ь. [c.110] ЧТО аналитически подобную задачу решить, если и возможно, то лишь ценой заметных упрощений, которые непредсказуемым образом могут отразиться на результатах расчета, расчет же коэффициентов Ki и Кц на ЭВМ не представляет особых сложностей. Решение методом конечного элемента начинается с идеализации объекта. На рис. 15.2 показана конечноэлементная модель осесимметричного ротора с трещиной. По мере приближения к вершине трещины сетка элементов сгущается, что для наглядности на этом рисунке отражено последовательными вставками. Последняя из них окружает вершину трещины. [c.111] Итоговый результат представлен на рис. 15.3, где даны значения ) коэффициентов интенсивности напряжений первого и второго типа Ki и ЛГц [165]. Далее при необходимости эти коэффициенты можно использовать в расчетах на прочность. [c.111] ЭТИХ случаев и рассчитана на ЭВМ с помощью МКЭ Z-тарировка, которая представлена в табл. 15.1 [183]. Обозначения размеров и схема образца показаны на рис. 15.4. [c.112] Погрешность вычислений не превышает 6%. [c.112] Приведем теперь результаты решения задач по определению коэффициента интенсивности напряжений экстраполяционным методом ГИУ (см. 14). Для численной реализации были написаны программы решения плоских и пространственных задач теории упругости методом интегральных уравнений (14.9), полученных на основе решения Кельвина [77]. Решение уравнения осуществлялось методом последовательных приближений с предварительной регуляризацией сингулярного интеграла по формуле (14.14). [c.112] Аналитическое же решение [2421 дает Zi = 1,12Уя/ = 4,46. Таким образом, численное решение отличается от аналитического на 0,5 %. [c.114] Вернуться к основной статье