ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы решения задач теплопроводности из "Тепломассообмен " В тех случаях, когда определить Т трудно, расход тепла может быть подсчитан по формуле (2-3-3). [c.107] Аналитическая теория решения этих уравнений при переменных характеристиках, зависящих от температуры, пространственных координат и времени, до сих пор не разработана. Имеющиеся в литературе решения посвящены лишь некоторым частным задачам. В данном параграфе мы рассмотрим методы решения задач теплопроводности, когда теплофизические характеристики постоянны или зависят от координат и времени. [c.107] Показано, что существует 11 ортогональных систем в которых уравнение Гельмгольца разделяется на обычные дифференциальные уравнения (табл. 2-1). [c.108] Суммирование в (2-4-8) ведется по всему дискретному спектру собственных значений и . Для трехмерных задач в конечной области суммирования (2-4-8) является тройной суммой. [c.108] Вопросы обоснования метода Фурье рассмотрены, например, в [Л. 2-1 -2-3, 2-18, 2-19]. [c.109] Аналогичные формулы имеются для граничных условий (2-2-4) и (2-2-6,) а также для смешанных условий на границах. [c.110] Отметим, что плотности тепловых потенциалов Хь Хг являются неизвестными функциями, определяемыми из решения интегральных уравнений, полученных подстановкой соответственно (2-4-40) и (2-4-41) в граничные условия (2-2-3) и (2-2-4) с учетом (2-4-36) — (2-4-39). Отметим, что имеется ряд задач, для которых метод тепло-, вых потенциалов незаменим задачи с подвижными границами, с переменным коэффициентом обмена и т. п. [c.114] Одним из достоинств метода тепловых потенциалов является то, что он позволяет сводить решение дифференциального уравнения параболического типа к интегральному уравнению, которое более удобно для проведения числовых расчетов. [c.114] К недостаткам метода тепловых потенциалов следует отнести его некоторую сложность и громоздкость, а также невозможность его непосредственного применения в случае неоднородных начальных условий (которые вначале должны быть сведены к однородным) в последнем случае нетрудно обойти указанное затруднение с помощью использования интеграла Пуассона. [c.114] Интефальные преобразования. Классические методы решения краевых задач, изложенные выше, обладают рядом недостатков они требуют определенной изобретательности, дают решения, мало пригодные для числовых расчетов, и т. п. Методы интегральных преобразований обладают рядом преимуществ перед классическими методами они стандартны, позволяют получать решения в уДобном для расчета виде (например, для малых и больших значений независимой переменной) использование таблиц изображения функций ускоряет и упрощает процесс нахождения решения и т. д. Наряду с очевидными достоинствами интегральные преобразования имеют общий существенный недостаток они применимы лишь к линейным уравнениям. [c.114] Нахождение оригинала функции по ее изображению может быть выполнено особенно просто, если изображение совпадает с одним из изображений, содержащихся в таблицах изображений функций. [c.115] Выр ения (2-4-50) и (2-4-49) называются соответственно прямым и обратным преобразованием Фурье. Отметим, что интеграл в (2-4-49) существует, если функция F (а) абсолютно интегрируема на числовой прямой, т. е. [c.116] Использование (2-4-57) и (2-4-58) позволяет переходить к изображениям для более широкого класса функций, например при F (т) — onst, os т, sin т, т и т. п., т. е. в тех случаях, когда обычные преобразования неприменимы. [c.118] Выражения (2-4-61) и (2-4-62) определяют интегральное преобразование Меллина, которое является некоторым видоиз.менением интегрального преобразования Лапласа свойства преобразования Меллина могут быть получены из соответствующих свойств преобразования Лапласа [Л.2-9, 2-13, 2-14]. [c.118] Формулы (2-4-63) и (2-4-64) могут быть получены из кратного (двойного) интегрального преобразования Фурье переходом к полярным координатам. [c.118] Имеется еще ряд интегральных преобразований, которые, как и преобразование Ханкеля, относятся к так называемым преобразованиям Бесселя, в ядро которых входят функции Бесселя. К последним относятся преобразования Канторовича — Лебедева, Мейера и т. п. В отличие от рассмотренных выше интегральных преобразований область применимости последних при решении задач теплопроводносжи значительно уже и они имеют скорее теоретическое, чем практическое значение, так как задачи, которые могут быть решены с их помощью, гораздо проще решаются другими методами. [c.118] Рассмотрим нестационарную задачу теплопроводности в конечной области (Р) с переменным источником тепла Q (х , т). Тело ограничено поверхностями (У = 1, 2,. .., й), где число к должно соответствовать поверхностям ортогональной системы координат, т. е. [c.119] Обозначим собственные функции системы (2-4-68) — (2-4-69) через (Xi) = V (P x,), где — собственные значения. [c.119] Ортогональность функций исследовалась Штурмом и Лиувиллем. В общем случае в соотношение (2-4-73) для нормы N в подынтегральное выражение будет входить вес функции г (х,). [c.120] Таким образом, задача свелась к решению дифференциального уравнения (2-4-84). [c.121] Вернуться к основной статье