ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Поверхности с переменной образующей из "Начертательная геометрия _1981 " Существует девять поверхностей второго порядка, из них шесть линейчатых. [c.80] Перемещая плоскость параллельно ее первоначальному положению, мы получим другие, отличные от ранее построенной, но подобные ей параболы. Когда плоскость пройдет через вершину, парабола выродится в прямую (лучще сказать в двойную прямую). [c.82] Сечение конической поверхности плоскостью, параллельной двум образующим, представляет собой гиперболу (рис. 235). Плоскость пересекает обе полости конической поверхности, в связи с чем гипербола имеет две ветви. С параллельными ей образующими гипербола пересекается в бесконечности, следовательно, эта кривая имеет две несобственные точки. [c.82] Перемещая плоскость параллельно ее первоначальному положению, получим новые гиперболы, отличные от ранее построенной. Когда плоскость пройдет через верщину поверхности, гипербола выродится в пару пересекающихся прямых. [c.82] На рис. 236 показаны фронтально проецирующие плоскости (П, S и Р), результатом сечения которыми конической поверхности является эллипс (II), парабола (1) и гипербола i ). Горизонтальные проекции сечений не показаны. [c.82] Цилиндрическая поверхность второго порядка (цилиндр второго порядка) имеет три разновидности. Если направляющая эллипс, то цилиндр называется эллиптическим (рис. 237). Он имеет две плоскости симметрии, линия пересечения которых является осью симметрии цилиндра. Если плоскость наклонена к оси, а следовательно, и к образующим цилиндра, то сечением будет эллипс, отнощение длин осей которого зависит от угла наклона секущей плоскости к образующим. Когда сечение плоскостью, перпендикулярной оси, представляет собой окружность, то поверхность называется цилиндрической поверхностью вращения. Плоскость, параллельная образующим, может рассечь цилиндр по двум параллельным прямым или одной (двойной) прямой. [c.82] Третьей разновидностью цилиндра является гиперболический цилиндр (рис 239), имеющий две плоскости симметрии. Сечением цилиндра плоскостью, наклоненной к образующим, является гипербола, параллельной образующим, — две параллельные прямые или одна прямая. [c.83] Определитель конической и цилиндрической поверхностей второго порядка. [c.83] Гиперболический параболоид имеет две плоскости симметрии. Определитель поверхности. [c.85] И наконец, последней линейчатой поверхностью второго порядка является однополостный гиперболоид, показанный ранее на рис. 225. Эта поверхность имеет три плоскости симметрии. Линия пересечения двух из них представляет собой ось симметрии поверхности. Сечениями однополостного гиперболоида плоскостями, инцидентными оси, являются гиперболы. Множество асимптот таких гипербол представляет собой асимптотический конус (рис. 244), Существует множество однополостных гиперболоидов с общим асимптотическим конусом. [c.85] Линии сечения плоскостью однополостных гиперболоидов и их асимптотического конуса являются кривыми второго порядка одного вида. Поэтому сечением гиперболоида может быть эллипс (частный случай — окружность), парабола и гипербола (и ее вырожденный случай — две пересекающиеся прямые), причем эллиптические сечения однополостных гиперболоидов и их асимптотического конуса параллельными плоскостями подобны и подобно расположены. Однополостный гиперболоид можно пересечь плоскостью по параллельным прямым, одна из которых инцидентна одному множеству образующих, вторая — другому. [c.85] Если сечение поверхности плоскостью, перпендикулярной оси симметрии, — окружность, то поверхность носит название однополостного гиперболоида вращения. [c.85] Если сечением эллипсоида плоскостью, перпендикулярной одной из его осей, является окружность, эллипсоид становится эллипсоидом вращения вытянутым, когда третья ось больше диаметра окружности (рис. 246), и сжатым, когда эта ось меньше диаметра (рис. 247). Меридианом поверхности в обоих случаях является половина эллипса. Если все три оси эллипсоида равны между собой, эллипсоид становится сферой. Сечением сферы может быть только окружность. [c.86] Когда сечением поверхности плоскостью, перпендикулярной оси, является окружность, поверхность становится параболоидом вращения ее меридиан — парабола. [c.86] Сечением поверхности плоскостью, инцидентной оси, является гипербола. Множество асимптот таких гипербол представляет собой асимптотический конус. Существует множество двуполостных гиперболоидов с общим асимптотическим конусом. Линия пересечения плоскостью двуполостных гиперболоидов и их асимптотического конуса являются кривыми второго поряака одного вида. Поэтому сечением поверхности плоскостью может быть эл липс, парабола и гипербола. Эллиптические сечения двуполостных гиперболоидов и их асимптотического конуса параллельными плоскостями подобны и подобно расположены. [c.86] Если сечение поверхности плоскостью, перпендикулярной ее оси симметрии, — окружность, поверхность становится двуполостным гиперболоидом вращения. [c.86] Из девяти поверхностей второго порядка шесть имеют эллшттические сечения, что мы используем при решении задач. [c.88] Рассмотрим другой пример. Точка А, заданная своей фронтальной проекцией, инцидентна эллиптическому параболоиду (рис. 252, а). Отсек параболоида ограничен эллипсом а (О) 02). Проведем через А эллипс Ь. Его фронтальная проекция — отрезок 2, горизонтальная — эллипс 1, подобный и подобно расположенный эллипсу 01. Эти эллипсы можно рассматривать как параллельные сечения конуса с вершиной 5. Эллипс а инцидентен его нижней полости, эллипс Ь — верхней. Проведя через А2 фронтальную проекцию образующей конуса, отметим точку В2 ее пересечения с фронтальной проекцией эллипса а. Построим горизонтальную проекцию образующей и, установив проекционную связь, найдем точку 1. [c.88] Вернуться к основной статье