ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Гомология из "Начертательная геометрия _1981 " Теорема Дезарга. Проецируя треугольник AB II на плоскость S из центра S, не инцидентного этим плоскостям, получим треугольник А В С (рис. 31). Найдем след прямой АВ — точку 1. Она лежит на прямой s — линии пересечения плоскостей П и и совпадает со своей проекцией (на рисунке проекция не обозначена). Прямая АС пересекается со своей проекцией А С в точке 2, а прямая ВС — со своей проекцией В С в точке 3, причем точки 2 и 3, подобно точке 1, инцидентны прямой s. [c.16] Приведенная теорема называется теоремой Дезарга для пространства. Справедлива и об ратная теорема. [c.16] Прямые АВ к А В — продолженные стороны треугольников АВС я А В С пересекаются между собой в точке 1—проекции на плоскости П точки /. Прямые АС и А С пересекаются в точке 2, прямые РС и В С — в точке 3. Все три точки инцидентны прямой Т (см. /23/). [c.16] Гомологические преобразования. При проецировании из центра 5 (рис. 31) каждой точке плоскости 1 соответствует в качестве ее проекции определенная точка плоскости 1. В равной мере, если плоскость I проецировать из того же центра на плоскость 1, то каждой точке плоскости будет соответствовать определенная точка плоскости 2. В этом случае говорят, что между точечными полями плоскостей 1 и Е устанавливается взаимно-однозначное соответствие. В приведенном примере точке А соответствует точка А (и наоборот), точке В — точка В и т. д. Точки 7, 2 и 3, в равной мере как и другие точки прямой л, соответствуют сами себе, поэтому их называют двойными точками, а прямую 5 — прямой двойных точек. Двойные точки будем обозначать арабскими цифрами. Вместе с тем прямой АВ соответствует прямая А В, фигуре (треугольнику) АВС — фигура А В С и т. д. [c.16] Прямые А5, В5 и СЗ соответствуют сами себе. Например, прямая А5 соответствует прямой А 5. Но эти прямые совпадают. Поэтому следует говорить об одной — двойной — прямой. Сказанное распространяется на все прямые, проходящие через центр гомологии. Они являются двойными прямыми. [c.17] Построение фигуры, гомологичной заданной, называют гомологическим преобразованием заданной фигуры. [c.17] Кривые, гомологичные окружности. Зададим в плоскости 1 эллипса а (рис. 35, сравните с рис. 31) и спроецируем его из центра 5 на плоскость . Множество проецирующих прямых, проходящих через все точки эллипса а, представляют собой коническую поверхность, проекция же эллипса на плоскости I, является сечением этой поверхности плоскостью. Известно, что таким сечением может быть эллипс, парабола и гипербола (подробнее см. 26 и 46). Подобрав определенным образом направление проецирования и плоскость П (см. 29), спроецируем эллипс а в окружность а. Проекция эллипса а на плоскости Ё — эллипс (парабола или гипербола) а спроецируется на плоскость П в эллипс (параболу или гиперболу) а. [c.18] Эллипс, парабола и гипербола называются кривыми второго порядка (их уравнение в системе прямоугольных декартовых координат имеет вторую степень). [c.18] Аффинные гомологии. Если ось — собственная прямая, а центр — несобственная точка, не инцидентная оси, то соответствие называется родством. Двойные прямые в этом случае взаимно параллельны (рис. 36). [c.18] Соответствие, при котором ось — собственная прямая, центр — несобственная точка, инцидентная оси, показано на рис. 37. Двойные прямые соответствия параллельны оси 5. Соответствие называется сдвигом. [c.18] Когда ось — несобственная прямая, центр же — собственная точка (рис. 38), то соответствие называется гомотетией (преобразованием подобия). [c.20] Важным свойством аффинных гомологий является сохранение параллельности. Если прямые параллельны АВ и Df на рис. 36—39), то соответственные им прямые также параллельны (прямые АВ и Df на тех же рисунках). Для доказательства рассмотрим родство на рис. 40 Н(Б 5 а а). Несобственный центр родства задан направлением двойной прямой Ь, называемым направлением соответствия или направлением преобразования. [c.20] Если перемещать прямую Ь так, чтобы точка А удалялась от точки 1, то и точка А будет удаляться от этой точки. Когда прямая Ь станет несобственной, то и точка А и А станут несобственными. Прямая с параллельна а. Когда прямая Ь станет несобственной, то и точка В, в которой она пересекается с прямой с, станет несобственной — общей для прямых а и с. Следовательно, соответственная ей точка на прямой с совпадет с несобственной точкой прямой а. Отсюда, прямая с проходит через точку 2 параллельно прямой а. [c.20] Из аффинных гомологий наибольший интерес для нас представляет родство. В этом случае соответственные фигуры принято называть родственными фигурами, а ось гомологии — осью родства. [c.20] В частном случае /53/ фигурой, родственной эллипсу, может быть окружность (сравните с /50/). [c.20] Вернуться к основной статье