ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Энергия деформации из "Теория упругости " При выводе уравнений равновесия (123) и граничных условий (124) мы не делали различия между положением и формой элемента до и после нагружения. Как следствие, полученные уравнения (н соответственно сделанные из них выводы) справедливы только до тех пор, пока малые перемещения при деформировании не влияют существенно на действие внешних сил. Однако в ряде случаев деформацию приходится принимать во внимание. Тогда приведенный выше принцип суперпозиции теряет силу. Примером такого рода является балка, испытывающая одновременное действие продольной и поперечной нагрузки. Много других ирид геров появляется в связи с исследованиями устойчивости тонкостенных конструкций. [c.253] Если однородный стержень подвергается простому растям е-нию, то при удлинении стержня силы, приложенные к его концам, совершат некоторую работу. (Гул Таким образом, если на элемент стержня, показанный на рис. 130, действует лишь одно нормаль-ное напряжение то соответствующая сила dy dz совершает работу на перемещении dx. [c.253] Адиабатическое сжатие газа вызывает повышение его температуры. Когда адиабатически сжимается обычный стальной стержень, происходит аналогичное, очень малое повышение температуры. Начальная температура может быть восстановлена затем путем отнятия тепла. Такое изменение температуры изменяет и деформацию, однако это изменение касается очень малой доли адиабатической деформации. Если бы это было не так, то между адиабатическим и изотермическим модулями упругости наблюдалось бы значительное различие. В действительности это различие для обычных металлов очень мало1). Например, адиабатический модуль Юнга для железа превышает изотермический модуль всего на 0,26%. Такого рода различиями мы будем здесь пренебрегать ). Работа, затраченная на деформацию элемента, переходит в накапливаемую в нем энергию, называемую энергией деформации. При этом предполагается, что элемент остается упругим и не образуется кинетическая энергия. [c.254] Те же соображения используются и в том случае, когда на элемент действуют все шесть компонент напряжения Оу, сг , х (рис. 3). Сохранение энергии требует, чтобы работа зависела только от конечных значений, но не от порядка, в котором прикладываются силы. В противном случае, производя нагружение в одном порядке, а разгрузку — в другом, мы могли бы получить большее количество работы. Следовательно, при полном цикле деформирования из элемента можно было бы извлечь некоторую величину работы. [c.254] Таким образом, У представляет собой суммарную работу, приходящуюся на единицу объема, или энергию деформации в единице объема. [c.254] Согласно уравнениям равновесия (123), выведенным в 84, множители в скобках при и, V, W равны нулю. Величины, умножаемые на компоненты напряжения, согласно формулам (2), равны г ,. .., у у соответственно. Следовательно, полная работа, совершенная над элементом, сводится к значению, определяемому выражениями (6) и (в). Таким образом, эти формулы будут определять работу, совершенную над элементом упругого тела, или энергию, накопленную им, и в том случае, когда напряжения распределены по телу неоднородно и имеются объемные силы. [c.255] Формула (132) непосредственно показывает, что величина всегда положительна. [c.256] Эта формула определяет полную работу по преодолению сопротивления внутренних сил, совершенную при нагружении. Если мы представим себе тело как совокупность очень большого числа частиц, соединенных пружинами, то эта формула будет представлять работу, совершаемую при растяжении и сжатии пружин. Для получения работы, которую совершили над частицами тела внутренние силы, нужно поменять знак на обратный. [c.256] При таком распределении приложенные усилия совершают работу лишь за счет деформации нагруженной области. Зафиксируем положение и ориентацию некоторого поверхностного элемента этой области. Если обозначить через р порядок величины (например, среднее значение) силы, действующей на единицу площади, а через а — характерный линейный размер (например, диаметр) нагруженной части, то компоненты деформации будут иметь порядок pjE, а относительные перемещения в пределах нагруженной части будут 1юрядка ра/В. Совершенная работа будет иметь порядок ра (ро/ ), или р а /Е. [c.258] С другой стороны, компоненты напряжения порядка р вызывают энергию в единице объема порядка р Е. Следовательно, в соответствии с формулировкой принципа совершенная работа достаточна лишь для объема порядка а . [c.258] Здесь предполагалось, что тело имеет строго заданную форму и следует закону Гука. Последнее ограничение можно спять, если считать, что Е в вышеприведенных рассуждениях определяет просто порядок величины наклона кривых напряжения — деформация для рассматриваемого материала. Если тело не является существенно трехмерным, как это имеет место, например, в случае балки с очень топкой стенкой или топкой цилиндрической оболочки, то само-уравновешенное распределение усилий па одном кон[(е может передаваться на расстояния, во много раз прев1.ннаюн1ие высоту балки или диаметр оболочки ). [c.258] Приведенные вьнне рассуждения можно без изменения повторить для нагрузки с ненулевой результирующей, если в пределах нагруженной части или вблизи нее имеется закрепленный элемент поверхности. Таким образом, если деформируемый материал скреплен с абсолютно твердым, то давление, приложенное к малой части первого материала вблизи закрепления вызовет лишь местные напряжения ). [c.258] Вернуться к основной статье