ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Охлаждение (нагревание) пластины из "Теплопередача " Дифференциальное уравнение (3-4) совместно с начальными (3-5) и граничными условиями (3-6) однозначно формулируют поставленную задачу. Решение дифференциального уравнения (3-4) с учетом начальных и граничных условий и дает искомую зависимость распределения температуры в плоской пластине. [c.77] Левая часть уравнения (3-8) есть функция только т, а правая — функция только X. [c.77] В результате мы получили систему обыкновенных дифференциальных уравнений (3-9) и (3-10), которые легко интегрируются. [c.77] Выражение (3-11) удовлетворяет исходному уравнению (3-4) при любых значениях постоянных Си , Сз и к. [c.77] Из анализа этого тригонометрического уравнения следует, что при каждом значении Bi существует бесконечное множество решений. Наиболее I просто уравнение (3-14) можно решить графическим способом. [c.78] Для других конечных значений критерия В1 величины 1 имеют. промежуточные значения. Первые шесть корней ]кп приведены в таблице [Л. 158]. [c.79] Полученные частные решения (3-15) будут удовлетворять дифференциальному уравнению при любых значениях постоянных Ль Лг,. .., Ап, но ни одно из этих решений не будет соответствовать действительному распределению температуры в начальный момент времени. Однако путем наложения бесконечного числа таких распределений при соответствующем выборе величин Л можно воспроизвести любую действительную температурную кривую в начальный момент времени. [c.79] Известно, что если отдельные распределения (3-15) удовлетворяют дифференциальному уравнению и граничным условиям, то и сумма их также удовлетворяет тем же условиям. [c.79] Из уравнения (3-19) следует, что Л является только функцией корня характеристического уравнения, а последний является функцией критерия В1, следовательно, и Лп= /1(В1). [c.80] Уравнение (3-20) позволяет получить значение температуры в любой точке пластины для любого момента времени т. [c.80] Величина является функцией только критерия Bi и заранее может быть рассчитана и табулирована. Кроме того, если рассматривать температуру для определенного значения Х = х/Ь, то и величина os (fj.,X) является функцией Bi. Конкретно для оси пластины X = х/Ь = 0 и os ([А, 0) = 1, а для поверхности Х = х/Ь= и os([x, l) = osjij. [c.81] Функции N(Bi) и P(Bi) в уравнениях (3- 24) и (3-25) табулированы и для расчета могут быть взяты из справочников (Л. 228, 247, 133]. Кроме того, из уравнений (3-24) и (3- 2б) следует, что при заданной координате безразмерная температура является только функцией двух безразмерных критериев Bi и Ро, т. е. [c.81] Аналогичное уравнение может быть получено после логарифмирования уравнения (3-25). [c.82] Из уравнения (3- 22) следует, что ир,и охлаждевии (нагревании) пластины для любого момента времени после начального, распределение температуры имеет вид симметричной кривой с максимумом на оси пластины (Х=0). Для каждого последующего момента времени будет своя кривая, монотонно убывающая к поверхностям пластины. При этом для любого момента времени продолжения касательных к кривым в точках (Х= 1) проходят через две направляющие точки +А и —А, расположенные на расстоянии, Хо от поверхности пластины, равном Хо= 1/В1 (рис. 3-6). [c.83] Для доказательства этого важного свойства рассмотрим температурное поле для произвольного момента времени Ро 0. [c.83] Из уравнения (3- 27а) следует, что расстояние точки А от поверхности определяется заданными условиями однозначности, которые справедливы для любого момента времени. Следовательно, касательные ко всем температурным кривым в точке пересечения с поверхностью пластины при неизменных граничных условиях всегда будут проходить через точку А. Сказанное справедливо не только для пластины, но и для цилиндра, шара и тел других геометрических форм. [c.83] Так как температура на поверхности должна равняться температуре окружающей среды, то при. Х = 1 0 = 0. [c.84] По формуле (3-3)1а) можно определить время, необходимое для прогрева середины пластины до заданной температуры. [c.85] При малых В1 температура на поверхности пластины мало чем отличается от температуры на оси. Это указывает на то, что температура по толщине пластины распределяется равномерно и кривая температур остается почти параллельной оси ОХ для любого момента времени (рис. 3-8). [c.86] Вернуться к основной статье