ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Дифференцирование скаляров, векторов и тензоров из "Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей " Можно показать также, что значение Шд может быть вычислено как детерминант матрицы компонент тензора А в произвольном ортонормальном базисе. [c.29] Между прочим, в отношении уравнения (1-3.44) можно заметить, что необходимым и достаточным условием существования А служит отличие от нуля величины det А. [c.29] Три определенных выше инварианта, называемых в совокупности главными инвариантами, чрезвычайно важны из-за следующей теоремы представления симметричных тензоров. [c.29] Подобным же образом мы можем каждой точке пространства поставить в соответствие векторное или тензорное значение, и тогда следует говорить о векторном или тензорном поле соответственно. Примерами полей такого типа могут служить поля скоростей и напряжений в жидкости. [c.30] В этом разделе мы рассмотрим определения и свойства пространственных дифференциальных операций над полями. Все величины будут рассматриваться в заданный момент времени. Дифференцирование по времени будет введено в следующей главе. [c.30] В последующем изложении предполагается без специальных оговорок, что полевые величины удовлетворяют всем условиям непрерывности и дифференцируемости, т. е. всем условиям существования определяемых величин. [c.30] Здесь dX — произвольный бесконечно малый вектор, а X + dX — точка, получаемая суммированием X и вектора dX. в смысле, определенном в разд. 1-2. Можно показать, что вектор V/, определяемый уравнением (1-4.1), является единственным, т. е. не зависящим от dX. Очевидно, так как вектор V/ определен во всех точках, где определено поле / (X), он сам представляет собой поле, а именно векторное поле. [c.30] При выбранной системе координат скалярное поле / (X) можно представить функцией трех переменных / (ж ), где ж - суть координаты вектора X. Тогда можно показать, как компоненты вектора V/ связаны с функцией / (л ). [c.30] Чтобы сделать это, мы должны немного отклониться и показать, что дифференциалы координат dx суть контравариантные компоненты вектора dX, характеризующего различие между точкой с координатами х - + и точкой с координатами x . [c.30] Сравнивая (1-4.2) с (1-2.10), замечаем, что величины dx должны быть контравариантными компонентами некоторого вектора. Чтобы найти этот неизвестный вектор, мы можем выбрать декартову систему, так что сразу станет ясно, что этим вектором является dX. [c.31] Сравнивая левую часть уравнения (1-4.5) с уравнением (1-2.8), видим, что она представляет собой систему ковариантных компонент V/. Таким образом, ковариантные компоненты градиента скалярного поля / (X) являются частными производными функции / (ж ) по координатам. [c.31] Контравариантные компоненты можно получить при помощи операции поднятия индекса, используя метрический тензор. Ковариантные и контравариантные векторы поля V/ иногда обозначают символами Dif и D f соответственно. [c.31] Это означает, что градиенты полей координат представляют собой векторы базиса, дуального к естественному базису. [c.31] Пусть векторное поле представлено функцией а(Х). [c.32] Выбирая координатную систему, можно найти соотношение между компонентами тензора Va и вектора а. Это соотношение оказывается более сложным, чем соотношение для градиента скалярной величины в ранее рассмотренном случае. Действительно, компоненты тензора Va вовсе не являются производными по координатам компонент вектора а, как это можно было бы предположить на основании аналогии между уравнениями (1-4.8) и (1-4.1). Такой простой результат имеет место лишь в том случае, когда система координат является декартовой. [c.32] Путем длинных вычислений можно показать, что в общем случае компоненты тензора Va даются указанными ниже выражениями. [c.32] Символы, определяемые выражениями (1-4.11) и (1-4.10), называются символами Кристоффеля первого и второго роДа соответственно. Как видно из этих соотношений, они являются комбинацией производных метрического тензора по координатам и обра-ш аются в нуль, если компоненты метрического тензора постоянны, как это имеет место в декартовой системе координат. Известное правило суммирования распространяется также и на эти символы. Индексы в символах Кристоффеля первого рода считаются нижними, а в символах Кристоффеля второго рода один из индексов считается верхним и два — нижними. [c.32] В обоих обозначениях i следует интерпретировать как первый индекс, а у — как второй, т. е. [c.33] Общепринятым названием для a ,j — выражения, определяемого уравнением (1-4.9), является ковариантная производная контра-вариантного вектора . [c.33] Контраварпантные компоненты, а также другие типы смешанных компонент тензора Va получаются поднятием второго индекса в уравнениях (1-4.9) и (1-4,14) соответственно. Символы и а, - называются контравариантными производными контрава-риантного и ковариантного векторов соответственно. [c.33] Вернуться к основной статье