ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Аппроксимация функций распределения вероятностей погрешностей измерений. Связь точечных и интервальных характеристик. Юо Метрологические характеристики средств измерений. Их оценивание и контроль из "Метрологические основы технических измерений " Невозможность строгого определения экспериментальными методами, с использованием статистики, функций распределения случайных величин вызвала в математике развитие специальных методов, названных робастными. Эти методы направлены на то, чтобы обеспечить устойчивость результатов статистических процедур к отклонениям вводимых предположений от действительности. Такая слишком, быть может, общая формулировка вызвана тем, что в математике, пока не установилось четкое определение понятия робастные методы . Об этом свидетельствуют такие, напрпмер, высказывания Со словом робастность связывают — и подчас безосновательно — различные понятия. В настоящей книге это слово используется в относительно узком смысле, диктуемом нашими целями робастность означает нечувствительность к малым отклонениям от предположений [34] или Статистическая процедура, нечувствительная к отклонениям от предположений, лежащих в се основе, называется устойчивой (робастной) [49]. [c.106] Как можно судить по приведенным и другим высказываниям, математики связывают понятие о робастных методах с малыми отклонениями от предположений. Применительно к нашей задаче можно понимать, что робастные методы применимы в тех ситуациях, когда функция распределения вероятностей погрешности измерений, в принципе, известна, но неточно — возможны небольшие отклонения вида реальной функции от предполагаемого вида. Это означает, что в метрологии технических измерений робастные методы неприменимы. Имеются публикации, где обоснованно отмечается, что погрешность измерений может иметь самые разнообразные функции распределения. В частности, например, в проекте Рекомендации ИСО ТАГ 4/РГ 3 (1987 г.)—см. разд. 2.2 — упоминается возможность как функций, близких к нормальным, так и функций, близких к равномерным. Впрочем, подобное разнообразие реальных функций распределения погрешностей измерений известно и из других источников. [c.107] нам приходится отказаться от робастных методов, не говоря уж о том, что они разрабатываются как методы статистики, но не как методы теории вероятностей. Это значит, что они вообще неприменимы к вероятностным характеристикам, важным для технических измерений, а применимы лишь для лабораторных измерений (при отмеченных ограничениях). [c.107] Что касается систематических погрешностей, как вырожденных случайных величин, то в течение многих лет в тех же методических документах принималось предположение о том, что эта погрешность распределена равномерно в границах, установленных, как предельно возможные значения систематической погрешности (или ее неисключенного остатка). В проекте Рекомендации ИСО ТАГ 4/РГ 3 (1987 г.) принято такое же предположение (см. разд. 2.2). [c.108] На основании сделанных предположений об ограничениях видов функций плотности распределения погрешностей в [50] была исследована совокупность нескольких видов функций плотности распределения равномерной трех трапецеидальных, с разными соотношениями оснований треугольной усеченной нормальной. Было установлено, что в ограниченном диапазоне вероятностей Р = 0,9—0,99, представляющем практический интерес, интегральные функции соответствующих распределений различаются не очень сильно. В [50] представлены графики зависимости половины интервала, в пределах которого находится случайная величина с вероятностью Р, от этой вероятности для указанных шести видов функций плотности распределения. Если принять за аппроксимирующий график просто средний арифметический из приведенных, то различия от него крайних графиков в принятом диапазоне вероятностей не превышают, примерно, 20 % при вероятности Р = 0,99, снижаясь до, примерно, 6 % при вероятности Р=0,9. [c.108] По-видимому, погрешности порядка 15—20 %, с которыми известны характеристики погрешностей технических измерений, должны признаваться вполне удовлетворительными. Во-первых, сами погрешности измерений — величины малые по сравнению с результатами измерений. Погрешности этих погрешностей — величины второго порядка малости они служат как бы мерой доверия к самим характеристикам погрешностей измерений и, в отличие от последних, ни в каких расчетах не участвуют. Во-вторых, каким бы методом — расчетным или экспериментальным (при аттестации МВИ)—характеристики погрешностей измерений ни определялись, влияние большого количества факторов не позволяет считать, что характеристики погрешностей измерений могут быть известны с погрешностями менее 15—20 %, даже если известен вид закона распределения погрешности. К таким факторам, влияние которых точно учесть невозможно, относятся приближенность принятой модели объекта измерений и моделей погрешностей из.мерений приближенность методов расчета и методов экспериментального оценивания изменчивость во времени как характеристик гюгрешпости, так и условий измерений многообразие возможных совокупностей значений влияющих величин и др. [c.108] Таким образом, предлагаемая методика аппроксимации функций распределения погрешностей может быть применима при достаточно подробной информации о реальной функции распределения— надо знать класс распределения и значение его эксцесса. Это обстоятельство существенно ограничивает область применения предложенной методики. Во-первых, неясно, как ограниченная (реально какая ) точность оценивания эксцесса распределения будет влиять на точность результатов расчета по предлагаемым формулам. Кроме того, отсутствуют сведения о реальной стабильности значений эксцессов практически встречающихся распределений погрешности измерений. Все это заставляет считать, что методика аппроксимации функций распределения погрешностей измерений, изложенная в [33 , представляет, скорее, теоретический, чем практический интерес. Во всяком случае, она, возможно, заслуживает дальнейшего изучения применительно к лабораторным измерениям. При технических измерениях необходимая для данной методики исходная информация практически недоступна, и даже если путем специального исследования в определенных условиях такую информацию получить, то трудно доказать, что в реальных условиях технических измерений она останется неизменной. Что касается указанной в [33] более высокой точности определения результатов расчетов по предлагаемым формулам, то при технических измерениях, как указано выше, она не сможет существенно повлиять на реальную точность конечных результатов расчетов. Поэтому методика аппроксимации функций распределения погрешностей измерений, предложенная в [33], вряд ли может применяться при технических измерениях. [c.109] В [52] обоснована еще одна методика определения коэффициента связи интервальной характеристики погрешности измерений с ее СКО. Она, так же, как методика, описанная в [50], справедлива для функций плотности распределения погрешности — усеченных, симметричных, одномодальных. Но для применения методики [52] необходимо дополнительно знать упрощенный , как указано в [52], параметр закона распределения погрешности — отношение основания усеченной функции плотности к СКО Таким образом, при данной методике из всей совокупности усеченных, симметричных, одномодальных функций плотности распределения погрешностей выделяется некоторая более узкая группа функций, характеризуемая определенным значением указанного упрощенного параметра закона распределения. Методика, предлагаемая в [52], требует существенно более простых исходных данных, чем методики, предлагаемые в [33 51] вместо класса закона и значения его эксцесса [33] или класса закона и значений нескольких моментов распределения [51], достаточно знать, что функция плотности — усеченная, симметричная, одномодальная, а также знать отношение интервала погрешности, соответствующего вероятности Р=1, к ее СКО. При этом погрешности коэффициента связи между интервальной характеристикой погрешности при любой вероятности Р и СКО довольно малы составляют величины порядка 4—20 % [52]. [c.110] Предпочтительно применение таких методик аппроксимации функций распределения погрешностей, для которых достаточна качественная исходная информация и которые, вместе с тем, обеспечивают вполне приемле-мые погрешности аппроксимации, почти такие же, как и методики, требующие исходной количественной информации. Этим условиям удовлетворяет описанная выше мето-.дика аппроксимации, основанная на материалах [50]. [c.111] Однако исследование, описанное в [50], оставило неудовлетворение тем, что было рассмотрено несколько конкретных функций распределений. Решение задачи о функциональной связи интервальных характеристик погрешностей измерений с их СКО, которая являлась целью работы [50], не может считаться достаточно общим. Поэтому задача была решена и другим методом, основанным на тех же исходных предположениях и на том же принципе аппроксимации — усреднении. [c.111] В [53 54 55] используется функция Иордана, позволяющая одним аналитическим выражением описывать широкое семейство функций с разными формами кривых. [c.111] При практическом решении данной задачи функцию Иордана надо несколько преобразовать. Необходимость преобразования вызвана тем, что при любом СКО случайной величины определенный интеграл, в бесконечных пределах, функции плотности распределения вероятностей этой случайной величины должен быть равен единице. [c.112] Математическое решение данной задачи, то есть необходимые преобразования функции Иордана и соответствующие расчеты, дано в [56]. (Надо отметить, что в [56] рассматривается применение функции Иордана не к задачам с неточным заданием законов распределения , как указано в наименовании работы. В [56], в соответствии с задачей, поставленной в [41], реальный закон распределения вообще никак не задается. Принимается лишь, что закон таков, что функция плотности распределения вероятностей — функция усеченная, симметричная, одномодальная. [c.112] Границы основания любой усеченной функции плотности распределения, описываемой функцией фе,с (х), отличной от нуля в интервале конечных значений аргумента, равны (—я/2с) и ( + л/2с). [c.113] Графики функций ф(х) при некоторых значениях параметра ей при с=1 показаны на рис. 2.2. Из этих графиков видно, что изменением параметра е в широких пределах, например, —1 е Ч-+100, можно изменять вид функции плотности распределения вероятностей случайной величины от равномерной через тупые до весьма острых функций. [c.113] 17) следует, что функция К Р) коэффициента К от вероятности Р в качестве параметра имеет только е и не зависит от значения с. Это значит, что коэффициент К(Р) зависит от вида функции плотности распределения случайной величины от ее СКО. [c.114] Таким образом, при какой-либо определенной вероятности Р коэффициент К Р) зависит только от параметра е. Для иллюстрации на рис. 2.4 показаны два графика зависимости коэффициента К Р) от параметра г, то есть зависимости К е), для двух значений вероятности Р = 0,90 и Р=0,95. [c.115] Вернуться к основной статье