ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Определение коэффициентов математических моделей структуры потоков методом моментов из "Динамика процессов химической технологии " Наибольшее распространение метод моментов получил при исследовании структуры потоков в аппаратах химической технологии. Известно, что гидродинамические характеристики (такие, например, как коэффициенты перемешивания) целесообразно определять в нестационарных режимах, исследуя отклики объекта на возмущения входных параметров, а тепломассообменные характеристики (такие, например, как коэффициенты тепло-и массопередачи) удобнее определять в стационарных условиях работы аппарата. [c.279] Рассмотрим наиболее простую методику исследования структуры потоков, заключающуюся в следующем. В поток жидкости или газа, поступающего в аппарат, вводят индикатор — вещество, не вступающее ни в какие реакции и не участвующее ни в каких массообменных процессах,— и регистрируют концентрацию индикатора на выходе из аппарата. При определении коэффициентов математических моделей структуры потоков (например, коэффициентов перемешивания) чаще всего используют метод моментов. [c.279] Функции отклика на возмущение концентрации индикатора на входе в аппарат при некоторых условиях (именно, при отсутствии обратного перемешивания в трубопроводах) характеризуют распределение времени пребывания частиц среды в аппарате. Соответственно и моменты функций отклика связаны с моментами распределения времени пребывания. Поэтому, прежде чем описывать применение метода моментов при исследовании структуры потоков, остановимся подробнее на вопросе о распределении времени пребывания частиц среды в аппарате и связи этого распределения с функциями отклика на возмущение концентрации трассера. [c.279] В реальных технологических аппаратах вследствие перемешивания фаз, а также неравномерности движения фаз по сечению аппарата время пребывания отдельных частиц фазы различно. Поэтому для каждой отдельно взятой частицы ее время пребывания есть случайная величина. Будем обозначать через время пребывания отдельных частиц в аппарате. [c.279] Как известно [2], каждая случайная величина характеризуется функцией распределения F(t)= t , которая является вероятностью того, что время пребывания частицы в аппарате меньше t. [c.279] Если распределение случайной величины непрерывно, вместо функции распределения часто вводят плотность распределения fit) =dF t)/dt. [c.280] Момент Hi называется средним значением случайной величины. В данном случае Ц1 является средним временем пребывания частиц в аппарате, поэтому будем обозначать его через t p. Заметим, что для t p существуют простое соотношение, связывающее его с объемом V аппарата и объемным расходом L. [c.280] Равенство (6.3.4) легко получить из выражения (6.3.3) делением его на площадь поперечного сечения S аппарата, приходящуюся на данную фазу. [c.281] Второй центральный момент называют дисперсией и обозначают т. е. = Е( — iii) . Дисперсия является мерой отклонения времени пребывания отдельных частиц от среднего времени пребывания. На физической интерпретации остальных моментов останавливаться не будем, так как их использование имеет ограниченный характер. [c.281] Выясним теперь связь функций отклика на возмущение концентраций индикатора с распределением времени пребывания частиц в аппарате. Оказывается, что такая связь существует только у аппаратов, называемых, по терминологии Левеншпиля [18], закрытыми сосудами. К аппаратам этого типа относятся такие, в которых отсутствует обратное перемещиваиие на входе и на выходе. Остальные аппараты называют открытыми сосудами. В дальнейшем закрытый сосуд и открытый сосуд будем называть закрытым аппаратом и открытым аппаратом, соответственно. [c.281] Из уравнения (6.3.5) следует, что характеристическая функция оператора А 0вх - 0вых есть не что иное, как плотность распределения времени пребывания. [c.282] Перейдем к некоторым следствиям формулы (6.3.6). Пусть была произведена импульсная подача трассера, т. е. =a t), где а — некоторая константа. Практически реализовать импульсное возмущение можно, введя за очень малый промежуток времени некоторое количество М трассера. [c.282] Этот результат также легко интерпретировать частицы, выходящие из аппарата в момент времени t, имеют время пребывания не больше t. Доля этих частиц, равная 0вых(О/ о. и есть функция распределения времени пребывания. [c.282] Для более корректного использования рассмотренных понятий необходимо иметь в виду следующее. Хотя термины дифференциальная функция распределения и интегральная функция распределения являются распространенными, введение этих новых (по сравнению с принятыми в теории вероятностей функцией распределения и плотностью распределения) терминов нельзя считать оправданным. Кроме того, нужно иметь в виду, что часто встречающееся в химико-технологической литературе определение понятия распределения времени пребывания как функции отклика на какое-либо возмущение концентрации трассера на входе не является вполне строгим, поскольку распределение времени пребывания существует независимо от того, был подан трассер или нет. Введение трассера есть только один из способов регистрации распределения времени пребывания. Можно экспериментально определить распределение времени пребывания без каких-либо измерений концентраций. Например, можно получить информацию о распределении времени пребывания, следя с помощью кино- или рентгеносъемки за траекториями отдельных меченых частиц. [c.283] На рис. 6.4 и 6.5 направление оси ординат ОХ совпадает с направлением потока фазы (жидкой, твердой или газовой). Частицы с координатами х е [О, /] находятся внутри аппарата, с координатами х 0 — внутри трубопровода, по которому поток подается в аппарат, а частицы с координатами х 1 — в трубопроводе, по которому поток отводится из аппарата. На рис. 6.4 изображена возможная траектория частицы в закрытом аппарате. Поскольку в трубопроводах на входе и выходе закрытых аппаратов перемешивание отсутствует, частицы в них движутся с постоянной скоростью, поэтому траектории частиц представляют собой прямые линии. В аппарате вследствие перемешивания, неравномерности профиля скоростей в поперечном сечении, захвата частиц одной фазы другой фазой скорость частицы в различные моменты времени может быть разной. Поэтому траектория частицы отличается от прямой линии. При этом в некоторые моменты времени частица какой-либо фазы может двигаться навстречу потоку этой фазы (участки 1, 2 на рис. 6.4). Это явление называется обратным перемешиванием. [c.284] Время пребывания отдельной частицы в аппарате есть длина интервала U] времени между моментом t поступления частицы в аппарат и моментом 2 выхода из аппарата. [c.284] Если аппарат открытый , перемешивание частиц происходит не только в самом аппарате, но и в трубопроводах, по которым фаза подается в аппарат или отводится из него. При этом траектории частиц отличаются от прямой и в аппарате и в трубопроводах (рис. 6.5). [c.284] Из приведенного анализа возможных траекторий частиц ясно, что, измеряя концентрацию 0вых(О в момент времени t при импульсном вводе трассера в момент i==0 в закрытый аппарат, можно быть уверенным, что регистрируются те частицы, которые пробыли в аппарате время, равное t. В случае открытого аппарата нельзя считать, что в момент времени t регистрируются частицы, имеющие время пребывания, равное t. Их время пребывания может быть как меньше t, если они возвращались из аппарата во входной трубопровод, так и больше t, если они вернутся в аппарат на некоторое время. [c.285] Перейдем к описанию особенностей использования метода моментов при определении коэффициентов математических моделей структуры потоков. Заметим, что применение метода моментов для определения коэффициентов математической модели структуры потоков не зависит от того, является ли аппарат открытым или закрытым . Следует однако учитывать, что для закрытого аппарата моменты функции отклика 0вых( ) характеризуют моменты распределения времени пребывания частиц в аппарате — среднее время пребывания и дисперсию, а для открытого аппарата моменты выходных кривых — формально введенные величины. [c.285] При получении теоретических зависимостей моментов функции отклика на возмущение концентрации трассера целесообразно переходить к безразмерным переменным. В качестве масштаба времени выбирают Up, в качестве масштаба концентрации — некоторую концентрацию 0о, которая зависит от вида возмущения на входе. [c.285] Вернуться к основной статье