ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Методы экспериментального исследования динамических свойств химико-технологических объектов из "Динамика процессов химической технологии " В данном разделе будут рассмотрены основные методы определения коэффициентов математических моделей, основанные на экспериментальном исследовании динамических свойств объектов. [c.261] Сформулируем общую постановку задачи. Пусть имеется оператор А а, . .., ап) u v, зависящий от одного или нескольких параметров ai,. .., ап. На вход аппарата, работа которого описывается оператором A(ai,. .., an), подают некоторое воздействие u(t) и измеряют выходную функцию, соответствующую этому входному воздействию. В дальнейшем будем обозначать через y t) экспериментально измеренную выходную функцию при некотором входном воздействии, а через v t)=A(au 0,2,. .., ап) и (О —решение уравнений математической модели при том же входном воздействии. Необходимо на основании функций u(t), y(t) найти значения параметров аь. .., а . [c.261] Вследствие погрешностей опыта найти точные значения параметров аь а,г невозможно. Приближенное значение параметра, полученное из эксперимента, в математической статистике называют оценкой параметра. [c.261] Отношение амплитуд Ь/а, а также фазовый сдвиг Шо выходной функции по отношению к входной зависят от частоты ш входного сигнала. Зависимости Ь/а и соо от частоты входного сигнала называются, соответственно, амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками. [c.262] Достоинством данного метода является большая точность определения параметров, а его недостаток состоит в том, что часто трудно для реального аппарата обеспечить синусоидальное возмущение. [c.262] Выбор этого или иного вида входных воздействий диктуется особенностями конкретной задачи. Обычно решающее значение имеет удобство практической реализации входного воздействия. Так, если необходимо возмущение концентрации на входе в аппарат, то легче реализовать импульсное возмущение, поскольку для этого достаточно ввести во входной поток за малый промежуток времени некоторое количество вещества. При ступенчатом возмущении концентрации необходимо в течение долгого времени поддерживать постоянную концентрацию на входе. В тех случаях, когда время опыта велико, а аппарат работает под большим давлением, реализация ступенчатого возмущения может представлять значительную техническую проблему. Поэтому импульсное возму щение входной концентрации используется наиболее часто. При исследовании реакции объекта на возмущения входной температуры легче реализовать ступенчатое возмущение. [c.263] Функция Ф(аь. .., ая) служит мерой отклонения А(аи an)u(t) от y t). Если функция y t) измерена без погрешностей а оператор А а, . .., ап) при некоторых значениях а = а (г = = 1,. .., п) абсолютно точно описывает реальный процесс, то. y t) = A(al.и следовательно, Ф(а , а ) = 0. [c.263] Если значения параметров аь. .., а определены не точно, теоретическая криваяЛ(аь an)u t) отличается от экспериментальной хотя бы на небольшом интервале и, следовательно, Ф(аь. .. [c.263] Наконец, третьей причиной отклонения Ф(a , а ) от нуля служит погрешность эксперимента. [c.264] Таким образом, Ф(свь. . ., а ) всегда отклоняется от нуля. При этом, если Ф(аь. .., ап) незначительно отличается от нуля, обычно полагают, что это отклонение можно объяснить только погрешностью эксперимента, и, следовательно, оператор Л(аь. .., а ) адекватно описывает реальный процесс. В том случае, когда рассчитанное значение Ф(аь. .., а ) при некоторых i,. .., ап оказывается больше того значения Ф, которое можно объяснить погрешностью эксперимента, следует сделать вывод, что либо принятые значения ai,. .., а значительно отличаются от истинного значения а°,. .., а°, либо математическая модель неадекватна реальному объекту. Определение диапазона значений Ф(аь. .., ап), который обусловливается погрешностью эксперимента, может быть произведено методами математической статистики. Изложение этих методов можно найти, например, в монографии Химмель-блау [13]. [c.264] Поскольку критерием точности соответствия между экспериментальной и теоретической кривыми является минимальное значение среднеинтегрального квадрата отклонения y t) от v t) = = A ai,. .., an)u(t), метод получения оценки параметров, использующий соотношения (6.1.1), (6.1.2), носит название метода наименьших квадратов. [c.264] В качестве оценки параметров следует взять те значения aj и 2, при которых функция Ф(а , Иг) принимает наименьшее значение. [c.265] Рассмотрим теперь влияние длины промежутка Т на оценку параметра а (для простоты считаем, что оператор зависит от одного параметра). На рис. 6.1 изображены три различные кривые отклика на ступенчатое возмущение, соответствующее трем разным а. Пунктиром на этом рисунке изображена экспериментальная кривая. Функция / хорошо описывает экспериментальную кривую на начальном участке (О, t ), но дает большую погрешность при выходе на стационарный режим, т. е. при больших t. Кривая 3 хорошо описывает переходный процесс при больших t, но значительно отклоняется от экспериментальной кривой на начальном участке. Кривая 2 занимает промежуточное положение между I и 3. Обозначим через i, 2, з параметры, соответствующие кривым /, 2, 3. При интегрировании по промежутку (О, i) наименьшее значение будет иметь (ai), поскольку на этом интервале кривая I дает наилучшее приближение экспериментальной кривой. На промежутке (О, /з) значительный вклад в интеграл (6.1.1) даст участок, где функции постоянны, и, если ts достаточно велико, то точность описания на участке ( 2, h) будет иметь решающее значение. Поэтому минимальной окажется величина Ф(осз). [c.265] В некоторых случаях появляется необходимость сократить число узлов квадратурной формулы. Например, если определение значений выходной кривой y ti) требует трудоемкого и длительного эксперимента или если определение значений теоретической кривой A(ai, ап) (О требует большого объема сложных вычислений, то использование квадратурных формул с большим числом узлов нецелесообразно. В этом случае следует применять формулы наивысшей алгебраической степени точности, в которых коэффициенты Ai и узлы ti определяются по специальным таблицам [14]. Применение формул наивысшей степени точности позволяет значительно сократить число узлов. Заметим, что вопрос о выборе квадратурной формулы должен быть решен до проведения опыта с тем, чтобы измерять значения y(i) в узлах квадратурной формулы. После того как выбрана квадратурная формула, проводят опыт и решают задачу определения минимума функции Ф(аь. .., a,i). Описание методов минимизации функций выходит за рамки данной книги достаточно подробно эти методы изложены в работе [15]. [c.266] Специального обсуждения требует случай, когда необходимо определить из опыта значения нескольких параметров. Формально возможно по одной кривой отклика на возмущение входных параметров определить все коэффициенты математической модели. Однако такой способ оценивания параметров ai,. .., ап приводит к весьма значительным погрешностям. Поэтому следует стремиться так организовать эксперимент, чтобы определять разные параметры в разных опытах независимо друг от друга. [c.266] Заметим, что оценка параметров математической модели, основанная на минимизации функции Ф(аь. .., а ), определенной равенством (6.1.1), обычно оказывается довольно сложной в вычислительном отношении. Основная сложность состоит в том, чта в выражение (6.1.1) необходимо вместо А а, . .., an)u t) подставлять решение уравнений математической модели. Причем,, если минимизация (ai,. .., ап) осуществляется методом последовательных приближений, то процедуру решения уравнений математической модели при некоторых значениях параметров 1,. .., а приходится повторять неоднократно. Поэтому целесообразно, с целью упрощения расчетов, разработать метод экспериментального определения параметров, основанный на конкретном виде уравнений математической модели и использующий более простой критерий точности оценки. [c.267] В качестве примера рассмотрим важный для практических, приложений случай, когда требуется экспериментально определить коэффициенты дифференциальных уравнений, входящих в математическую модель. Для простоты ограничимся случаем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, вида (6.1.3). [c.267] Отличительная особенность выражения (6.1.5) состоит в том, что оно линейно относительно искомых параметров. Это свойство линейности позволяет получить для параметров а, 2 линейную систему уравнений. Обозначим через а , aj значения параметров 1, а2, при которых достигается минимум функции Ф(аь г). Известно [15], что в этой точке — — (6.1.6) нетрудно лолучить выражение для частной производной функции Ф по af. [c.268] Вернуться к основной статье