ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Получение характеристических функций для моделей с распределенными параметрами из "Динамика процессов химической технологии " Для операторов, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, весовая и параметрическая передаточная функции являются равноценными характеристиками, причем способы их нахождения весьма похожи. Чтобы найти весовую или параметрическую передаточную функцию оператора, задаваемого общим уравнением (3.1.1), необходимо решать либо уравнение (3.1.15) с начальными условиями (3.1.16), либо уравнение (3.1.31). Эти уравнения имеют одинаковую структуру и в каждом конкретном случае можно определить, какую из функций G t, т) или F i, р) проще искать. Некоторое различие в процедурах нахождения характеристических функций появляется только для стационарных объектов. В этом случае для нахождения весовой функции по-прежнему необходимо решать дифференциальное уравнение (3.1.17), в то время как для отыскания передаточной функции используется тривиальное алгебраическое уравнение (3.1.34), решение которого (3.1.35) имеет очень простой вид. [c.97] При исследовании динамики стационарных объектов с распределенными параметрами, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, различие между методами нахождения весовой и передаточной функций сгановится более заметным. [c.97] В полученном уравнении член пз( )б( —т) можно исключить, если рассматривать б-функцию как результат дифференцирования скачка функции v x,t) по переменной t в точке t = г. Однако член ai(06 ( — t) исключить таким образом невозможно и уравнение не свести к однородному. Единственный путь для определения весовой функции состоит в решении краевой задачи (3.2.5), (3.2.6) с граничным условием, содержащим б-функцию. [c.98] Как видим, для стационарных объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, процедура определения передаточной функции U (p) имеет достаточно простой вид и в приведенном примере позволяет до конца решить задачу исследования функционального оператора объекта. Из свойства (2.2.77) следует, что для определения передаточной функции достаточно получить выражение преобразования Лапласа вых(р) выходной функции через й р) — преобразование Лапласа входной функции. Чтобы найти такое выражение Увых(р) через й(р) достаточно применить преобразование Лапласа к уравнению и граничным условиям математической модели, затем решить получившееся обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции х, р) — преобразования Лапласа от внутреннего параметра v x, t), и подставить в решение х = I. [c.101] Для того чтобы отыскать весовую функцию стационарного объекта, необходимо, как и в нестационарном случае, решить краевую задачу для уравнений в частных производных, подобную задаче (3.2.5), (3.2.6), хотя и с постоянными во времени коэффициентами. Решить такую задачу, конечно, гораздо сложнее, чем обыкновенное дифференциальное уравнение (3.2.16) с граничным условием (3.2.17). Таким образом, при исследовании стационарных объектов, математическая модель которых включает дифференциальные уравнения в частных производных (объекты с распределенными параметрами), передаточная функция является наиболее простым и эффективным средством описания оператора. Ее отыскание — главная задача при исследовании динамики объекта. [c.101] После построения передаточной функции стационарного объекта можно определить и другие его характеристики весовую и переходную функции. В соответствии с соотношениями (2.2.74) и (2.2.76) для их нахождения нужно применить обратное преобразование Лапласа к функциям W p) и W p)/p. [c.101] Чтобы найти передаточную функцию оператора, применим к соотношениям (3.2,22) и (3.2.23) преобразование Лапласа по переменной t и учтем начальные условия (3.2.24). [c.102] Передаточная функция получена, однако использовать ее для описания динамических свойств объекта затруднительно, поскольку lJ7(p) имеет сложный вид. Вследствие этого оригинал функции Ub,.ix(p)= U(p)W(p) трудно найти, даже если й(р) имеет очень простой вид. [c.103] Весьма трудную задачу в этом случае представляет также нахождение весовой функции g t] и переходной функции h(t), которые являются оригиналами функций W(p) и W(p)lp, соответственно. В следующем разделе будут рассмотрены некоторые методы, позволяющие решить эту задачу. [c.103] Иногда одно из граничных условий (или оба) заданы при X = I. Начальные условия считаются нулевыми. [c.103] Теперь, чтобы получить выражения для функций х,р) и V2(x,p), необходимо применить к (3.2.39) и (3.2.40) обратное преобразование Лапласа по переменной s. Для этого разложим дробно-рациональные функции в правых частях соотношений (3.2.39) и (3.2.40) на простейшие дроби. [c.105] Поскольку функции Wuip) и Wii p) из-за их сложного вида неудобны для исследования действия функционального оператора объекта на различные входные функции Uux(0 (и, кроме того, трудно непосредственно осуществить обратное преобразование Лапласа, необходимое для отыскания весовой и передаточной функции), часто после получения точного аналитического выражения для передаточных функций используют различные методы, позволяющие найти приближенные выражения для двух других характеристических функций. [c.107] Вернуться к основной статье