ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Сопротивление материалов действию повторно-переменных напряжений Явление усталости материалов из "Сопротивление материалов 1986 " Способ Релея. При рассмотрении колебаний упругих систем с одной и с несколькими степенями свободы мы, как правило, пренебрегали массой упругого элемента по сравнению с колеблющейся сосредоточенной массой. Это имело место и в случае вертикальных колебаний груза, подвешенного на пружине (см. рис. 537), и в случае крутильных колебаний диска на валу (рис. 545), и в случае поперечных колебаний грузов, расположенных на балке (рис. 555), и в других случаях. Хотя эти упрош,ения во многих практических случаях не вносят особых погрешностей в получаемые решения, тем не менее для некоторых технических задач желательно более детально рассмотреть точность этих приближений. Чтобы оценить влияние принятых упрощений на получаемое значение частоты колебаний упругой системы, воспользуемся приближенным методом Релея. [c.641] Приближенность метода состоит в том, что при его применении делают некоторые допущения относительно конфигурации колебательной упругой системы во время колебания. Частоту колебаний по способу Релея определяют из баланса энергии системы. [c.641] Проиллюстрируем применение метода Релея на примере колебаний груза, подвешенного на пружине (рис. 571). [c.642] Если перемещение, согласно принятому допущению, не зависит от массы пружины, то, очевидно, потенциальная энергия системы такая же, как и в случае, если бы пружина была невесомой. [c.642] Сравнивая это уравнение с уравнением (21.139), можем заключить, что для оценки влияния массы пружины на период собственных колебаний нужно к весу груза Q прибавить одну треть веса пружины. [c.642] Это заключение, полученное при допущении, что вес пружины очень мал по сравнению с грузом, можно с достаточной степенью точности использовать и для случаев, когда вес пружины того же порядка, что и вес груза. Так, для ql=0,5Q ошибка приближенного решения составляет 0,5 %, а для ql = Q — около 0,75 % и для ql = 2Q — около 3 %. [c.643] В качестве второго примера рассмотрим колебания груза, расположенного посредине балки (рис. 572). [c.643] Поскольку в рассмотренном случае форма колебаний балки принята была приближенно в виде синусоиды, то формула (21.150) дает приближенное значение частоты. Когда же известна действительная форма W (х) колебаний, то формула (21.150) дает точное значение частоты. Вообще же уравнение функции прогиба w х) заранее не известно и им обычно приходится задаваться. При выборе формы кривой необходимо стремиться отразить хотя бы примерно форму колебаний и соблюдать граничные условия задачи (в нашем случае условия на опорах). [c.646] Это выражение удовлетворяет условиям на концах балки. Действительно, при х = 0 и х = 1 прогиб и изгибающий момент отсутствуют, т. е. w (x) = Q и d w/dx = 0, в то же время угол поворота и поперечная сила не равны нулю, т. е. dw/dx O и d w/dx O. [c.647] Для определения частоты воспользуемся формулой (21.150). [c.647] Заметим, что полученное значение частоты, определенное приближенным энергетическим методом Релея, мало отличается от точного ее значения, определяемого формулой (21.80). [c.648] Способ Ритца. При использовании способа Релея делается определенное допущение относительно формы упругой линии колебаний стержня. Выбор этой формы равносилен введению некоторых добавочных ограничений, которые приводят сложную систему к системе, имеющей только одну степень свободы. При этом указанные добавочные ограничения могут только увеличить жесткость системы, что дает несколько преувеличенное значение частоты по сравнению с фактическим ее значением. [c.648] Более точные значения основной частоты, а также частот высших видов колебаний можно получить, пользуясь методом Ритца, который является дальнейшим развитием метода Релея. [c.648] При использовании метода Ритца в уравнение упругой линии, представляющей вид колебаний, вводят несколько параметров, величины которых выбирают таким образом, чтобы частота основного типа колебаний была минимальной. [c.648] Очевидно, таких уравнений будет столько, сколько членов в ряду (21.157). Эти уравнения однородные и линейные относительно коэффициентов ai, й2, аз,. .., а . Приравнивая определитель указанной системы уравнений нулю, получим частотное уравнение. [c.649] Способ позволяет определить не только низшую частоту, но и значения высших частот, хотя и с меньшей точностью. При этом можно определить столько частот, сколько слагаемых принято в выражении (21.157). [c.649] Каждый член этого разложения удовлетворяет граничным условиям задачи при х = 1 й),(л ) = 0 dWi(x)/dx = 0. [c.649] Таких равенств можно записать столько, сколько слагаемых имеет принятое выражение х). [c.651] Каждое из уравнений (21.165) однородно и содержит неизвестные значения коэффициентов Qi, Я2, оз,. .. в первой степени. Приравнивая к нулю определитель полученной таким образом системы однородных уравнений (21.165), получим частотное уравнение. [c.651] Выполняя указанное интегрирование, после преобразования будем иметь такую же систему однородных уравнений, как и (21.160) по способу Ритца. Приравнивая к нулю определитель системы, получим уже известную формулу (21.161) для определения частоты. [c.652] Вернуться к основной статье