ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Элементы теории тонкостенных оболочек Напряжения в осесимметричной оболочке из "Сопротивление материалов 1986 " Заметим, что изгибающий момент иа контуре свободно опертой пластинки больше, чем в защемленной, и противоположно направлен. Изгибающие моменты, вычисляемые по формулам (17.91) и (17.92), в центре пластинки обращаются в бесконечность по причине, указанной выше. Эпюры Mr и М0 приведены на рис. 480, г. [c.523] Этот прогиб примерно в два с половиной раза больше прогиба пластинки, защемленной по контуру. [c.523] Из первых двух условий получим два уравнения, из которых найдем постоянные С и j. Затем из третьего условия, используя выражение (17.99), определим Сз. [c.524] После подстановки значений i и Сг в уравнение (17.98) можно определить изгибающие моменты по зависимостям (17.52) и (17.53). Эпюры изгибающих моментов, вычисленных при Ь = 3а и ц = 0,3, приведены на рис. 481, г. [c.524] В различных областях техники широко применяются такие детали и элементы конструкций, которые с точки зрения расчета их на прочность и жесткость могут быть отнесены к тонким оболочкам. Это цистерны, водонапорные резервуары, воздушные и газовые баллоны, купола зданий, герметические перогородки в самолетах и подводных лодках, аппараты химического машиностроения, части корпусов турбин и реактивных двигателей и т. д. [c.525] Рассмотрим элемент оболочки (рис. 482). В общем случае в сечениях, которыми выделен элемент, действуют погонные (отнесенные к единице длины сечения) усилия (рис. 482, а) и моменты (рис. 482, б) нормальные усилия N и Л/2 касательные (сдвигающие) усилия Si и S2 поперечные силы Qi и Q2 изгибающие моменты М и М2 крутящие моменты Мир и Л12кр. Исходные дифференциальные уравнения для расчета оболочек, полученные с учетом всех этих усилий и моментов, оказываются настолько сло.жными, что интегрирование их даже для простейших задач связано с большими математическими затруднениями. [c.525] Еще более упрощаются уравнения и их решения, если сочетаются оба указанных обстоятельства — рассматривается осесимметричная задача в безмоментной теории оболочек. Тогда выполняются все равенства (18.1) и (18.2). [c.526] Рассмотрим резервуар (рис. 483), представляющий собой осесимметричную оболочку. В ней меридиональные сечения срединной поверхности образуют плавные кривые, не имеющие изломов. Толщина h оболочки предполагается малой по сравнению с радиусами кривизны. Свободный край резервуара закреплен так, что на него могут действовать только усилия, касательные к меридиональным кривым. Тогда можно считать, что оболочка находится в безмомент-ном напряженном состоянии, для которого справедливы равенства (18.2). [c.526] Пусть резервуар заполнен (частично или полностью) газом, жидкостью или сыпучим веществом. Давление р, МПа, в этом случае может меняться по высоте (т. е. вдоль оси резервуара), но, очевидно, будет одинаковым во всех точках плоскости, перпендикулярной к оси резервуара. Тогда оболочка будет находиться не только в без-моментном, но и в осесимметричном напряженном состоянии. [c.526] Выделим прямоугольный криволинейный элемент AB D оболочки (рис. 483), проведя два близких осевых сечения и два ортогональных к ним и к поверхности оболочки сечения (последние сечения представляют собой две конические поверхности с вершинами на оси резервуара). Длины граней элемента обозначим через dsi и ds . [c.526] Согласно равенствам (18.1) и (18.2), в гранях элемента действуют только нормальные погонные усилия iVi и Л/2 и соответствующие им напряжения а и аа (растягивающие в случае внутреннего давления и сжимающие — в случае внешнего). Следовательно, грани элемента — главные площадки. [c.526] В гранях АВ и D усилия Л/2 могут отличаться на величину dN-i, усилия же Л в гранях ВС и AD в силу осевой симметрии одинаковы. Поскольку N — это усилие, приходящееся на единицу длины, то на все сечение ВС приходится полное усилие N ds2. Это же относится и к другим граням элемента. [c.526] Элемент AB D срединной поверхности оболочки вместе с приложенными к нему усилиями и давлением изображен на рис. 484. Точка О — центр элемента, точки Oi и О2 — центры главных кривизн срединной поверхности, 00i — нормаль к поверхности элемента. [c.526] Выражение (18.4) устанавливает зависимость между двумя усилиями — Ni и N2. Поскольку, однако, неизвестных усилий два, то для определения их одного уравнения недостаточно. Дополнительных уравнений равновесия для элемента составить больше нельзя. Поэтому запишем уравнение равновесия (сумму проекций на ось оболочки) произвольной конечной части А С В оболочки (рис. 483 и 486). Эта часть отсекается конической поверхностью /liOifii, нормальной к срединной поверхности оболочки, по контуру А В. [c.527] Уравнения (18.4) и (18.5) дают возможность найти все усилия в осесимметричной безмоментной оболочке. В сопротивлении материалов принято эти уравнения записывать в напряжениях. [c.528] Поскольку оболочка тонкая, то вместо радиусов р/, р, и г срединной поверхности оболочки в формулы (18.8) и (18.9) можно подставлять соответствующие радиусы наружной или внутренней поверхностей. [c.529] Следует обратить еще внимание и на то, что в задаче о расчете резервуара удалось получить формулы для напряжений, не рассматривая геометрической и физической сторон задачи, т. е. задача оказалась статически определимой. Это — результат того, что mj i сразу постулировали закон изменения напряжений по толщине оболочки — считали их постоянными. [c.529] Как уже отмечалось, напряжения От и О/ являются главными напряжениями. Что касается третьего главного напряжения, направление которого нормально к поверхности оболочки, то на одной из поверхностей резервуара (наружной или внутренней — в зависимости от того, с какой стороны действует давление на резервуар) оно равно р, а на противоположной — нулю. В тонкостенных оболочках всегда От и значительно больше р и, значит, величиной третьего главного напряжения по сравнению с От и ст, можно пренебречь, т. е. считать его равным нулю. [c.529] Рассмотрим примеры расчета безмоментных оболочек. Сферический баллон заполнен газом, давление которого равно р (рис. 488). [c.529] В этом случае вследствие центральной симметрии Pm = pi = R am = Ot = G. [c.529] Вернуться к основной статье