ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Распространение упругих волн в круговом цилиндре из "Методы математической теории упругости " В результате получим замкнутую систему уравнений относительно напряжений и скоростей. [c.647] Дальнейшая задача заключается в выборе из многообразия этих соотношений шести линейно независимых по числу неизвестных функций. Выбор такой системы характеристических соотношений в случае числа переменных, большего двух, может быть сделан не единственным образом. Естественно выбирать их таким образом, чтобы получаемые при осуществлении разностной дискретизация уравнения были наиболее простыми, позволяли использовать регулярную сетку и удовлетворяли необходимому условию устойчивости Куранта. [c.651] Соотношения (4.8 ) — (4.1 Г) принимают наиболее простой вид, когда нормаль п совпадает с нормалью к координатным плоскостям, что соответствует значениям п, = , Пг= и 2=0, , = 1. [c.651] Из этих двух уравнений определяются Ьг и Ог. [c.652] Заметим, что получаемая система (4.14) конечно-разностных уравнений относительно неизвестных а +, А +, . .. имеет диагональный вид, что существенно сокращает вычисления (в сравнении с непосредственным применением разностного метода к исходным дифференциальным уравнениям). [c.652] Заметим, что использование для построения разностной схемы характеристических соотношений на границе особенно существенно. Дело в том, что при построении разностного аналога уравнений (4.12) для граничных точек получается переопределенная задача — соотношений больше, чем неизвестных. Каноническая по отношению к границе характеристическая форма уравнений позволяет единственным образом получить корректную разностную схему расчета граничных точек. Для ее построения следует записать все характеристические уравнения (4.8 ) — (4.1 Г) с нормалью п, совпадающей с нормалью у к границе. При этом получаем четыре соотношения, по одному для каждой из формул (4.8 ) — (4.1 Г), и к ним добавляются два граничных условия. Всего получаются шесть условий. [c.653] Для примера рассмотрим боковую поверхность (/ = о). Канонической форме соответствуют уравнения (4.8 ) — (4.1 Г) при п,= , Пг = 0. Заменяя их, как и в случае внутренней точки, интегральными соотношениями, интегрируя по площадям треугольников АОВ, А1ОВ1 и А2ОВ2 (см. рис. 83), лежащих соответственно в касательных плоскостях к конусам продольных, поперечных волн и к границе, получаем следующие конечно-разностные уравнения. [c.653] Угловые точки рассчитываются из тех же соотношений, что и граничные, независимо для каждой из поверхностей, составляющих угол, а затем полученные величины усредняются. [c.654] Остановимся на вопросе об устойчивости построенной разностной схемы. Очевидно, что условие Куранта автоматически выполняется, но оно для полученной схемы является только условием необходимым. Полное исследование устойчивости в двумерной осесимметричной задаче проведено в [23]. [c.654] Поясним сказанное на примере одномерной задачи. [c.654] Отсюда следует, что гармонические волны, соответствующие корням Я] и Яг, распространяются без затухания и дисперсии, поэтому величины Ог и Ог на фронтах продольных цилиндрических разрывных волн не будут размазываться, в то же время Ог будет сглаживаться. [c.654] Следует отметить, что ни одна разностная схема не в состоянии при наличии двух скоростей распространения передать обе волны без размазывания в рассматриваемой нами задаче об ударе по торцу цилиндра с постоянной скоростью Vr = vq. Наибольшее значение имеют продольные волны, поэтому целесообразно возможно точнее описать именно их. [c.655] Изложенный численный метод был применен для решения сформулированной выше задачи об ударе с постоянной скоростью по торцу цилиндра. [c.655] Полученное численное решение уже при I ОЯо/с качественно совпадает с ним. Максимальное превышение Пг над приложенным Уа составляет около 30%. [c.656] На рис. 83 приведено распределение скоростей по оси г = о в стержне конечной длины I = 5Ro после отражения продольной волны от свободного торца цилиндра для различных моментов времени. Величина скорости после отражения на свободном конце быстро возрастает и приближается к величине, предсказываемой элементарной стержневой теорией. Качественно такая же картина наблюдается и при других значениях г, но амплитуда осцилляций за счет боковых волн убывает при удалении от оси. Напряжение на контактной поверхности в точке г = 2 = 0 уменьшается от значения раКо до значения рДоКо, получающегося по стержневой теории, и затем колеблется около этого значения с периодом колебаний, близким в рассматриваемом примере к АЯо/а. [c.656] Вернуться к основной статье