ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Плоская динамическая задача о вдавливании гладкого штампа из "Методы математической теории упругости " К решению динамических задач теории упругости метод Винера— Хопфа (см. I гл. I, и. 4) впервые был применен при исследовании стационарной задачи дифракции на полубесконеч-ном разрезе со свободными краями, а также при изучении напряженного состояния, возникающего при мгновенном образовании полубескоиечной трещины. В этих задачах имеют место смешанные граничные условия, заданные на двух полубесконечных интервалах, при одном граничном условии, сквозном по всему бесконечному интервалу. Ниже на примере решения плоской задачи о вдавливании гладкого штампа [59] проиллюстрируем применение этого метода в динамической теории упругости. Для простоты ограничимся случаем полубесконечного штампа. [c.483] Таким образом, задача полностью сформулирована. [c.484] Поэтому интеграл F сходится и является аналитической функцией в области О Res Rep. По этой же причине интегралы о+ и v сходятся и являются аналитическими функциями соответственно в областях Res 0 и Res Rep. Таким образом, в формулах (5.8) — (5.12) имеем, что О Res Rep. [c.485] Исследуем подробно свойства функций, входящих в это уравнение. [c.485] Следовательно, функция K(p,s) аналитичная в полосе Res Rep, не имеет в ней нулей и убывает как при s- oo. [c.486] Здесь контуры 1 и k — прямые, параллельные мнимой оси, расположенные внутри полосы О Res Rep соответственно у ее левого и правого краев. [c.488] Из свойств N p,s) и К (р,5) следует, что построенные функции а+ и удовлетворяют сформулированным для них требованиям регулярности и поведения на бесконечности. [c.489] Здесь интеграл от 1 до оо в М- рх) и интеграл от 1 до у (при 1 7 у) в М рх) следует понимать в смысле главного значения по Коши радикалы в (5.30) — всюду арифметические. Кроме того, отметим, что /С, (0) = — /(+ (0) — — у (у — 1). [c.490] Заметим, что в (5.31) производную [ (г) следует понимать как обобщенную, и в частном случае, когда /(т)=Я(т), мы имеем Г (г) ==6(0. [c.491] В заключение отметим, что в случае щтампа конечной ширины (0 X /) решение может быть получено с использованием суперпозиции решений для полубесконечных штампов. Этот результат основан на том факте, что уравнения динамической теории упругости имеют гиперболический характер и, следовательно, возмущения распространяются с конечной скоростью. Поэтому, пока волны дифракции от противоположного края не достигли рассматриваемой области, пригодно решение для полубесконечного штампа. [c.492] Вернуться к основной статье