ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Осесимметричная задача для слоя с круговым разрезом из "Методы математической теории упругости " Об ограничениях, которые необходимо наложить на краевые условия, будет сказано ниже. [c.463] Функции A ip), В ip), (p) и Dip) определяются, исходя из краевых условий для уравнения (2.7), т. е. исходя из выражений (2.9) и (2.10) при подстановке в них значений 0 = а. Тогда эти функции непосредственно выражаются через интегралы от истинных краевых значений (2.3). [c.464] Осуществляя обратный переход к оригиналу (посредством интеграла (4.32) гл. I), приходим к формальному решению задачи в виде двукратных интегралов. [c.464] Здесь постоянная с выбирается из условия существования интегралов, причем удобно положить с = —1, поскольку из (2.16) будет следовать регулярность подынтегрального выражения на линии (с — г оо, с + 1оо). Для простоты анализа ограничимся решением, которое получается при больших значениях г, в связи с чем будем строить замкнутый контур интегрирования, дополнив прямую с = —1 дугой, расположенной справа. Для применения теории вычетов к вычислению интегралов нужно провести исследование нулей функции 0(р,а) из (2.17), расположенных вблизи от линии с — —1 справа, в зависимости от угла а. Заметим, что на линии Не р = —1 нет каких-либо комплексных нулей функции 0(р, а). [c.466] Те значения р, которые будут одновременно удовлетворять уравнениям G(p, а) = 0 и дО р,а)/др — 0, будут являться нулями функции G(p,a) второй кратности. [c.466] Рассмотрим три различных случая. В первом случае а а, и тогда в полосе —1 Rep 0 нет каких-либо нулей у функции G(p, а), а точка р = 0 является простым нулем. Во втором случае а = а, и тогда в полосе —l Rep 0 по-прежнему нет нулей, а точка р — 0 будет являться кратным нулем. В третьем случае а а, и тогда в полосе —1 Rep 0 появляется один простой вещественный нуль, который обозначим через Х(а), а нуль р = 0 снова оказывается простым нулем. Заметим, кроме того, что —0,5 аХ а). [c.466] Заметим, что все приводимые ниже результаты справедливы лишь при р 1. [c.467] Из сопоставления (2.22) и (2.25) следует, что предельное решение, доставляемое с использованием строгих методов, действительно совпадает с формальным решением (2.25). Следовательно, распределение напряжений не зависит в пределе от фактического характера краевого условия и определяется результирующим моментом. В третьем случае в выражении (2.24) присутствуют члены, входящие в решение (2.25), однако они не являются главными, и поэтому в пределе напряженное состояние будет определяться лишь первым слагаемым. Существенно, что это слагаемое зависит от функции ср и, следовательно, от характера фактически задаваемой нагрузки. Таким образом, приходим к примеру, противоречащему общепринятой формулировке принципа Сен-Венана. [c.468] Сказанное позволяет объяснить известный парадокс Каро-зерса, который состоит в том, что в решении (2.25) при а а о, оо, поскольку в этом случае (2.25) не есть главная часть решения. [c.468] В заключение заметим, что решение задачи для клина при иных краевых условиях (/1 ф —/г) приводит к уменьшению величины угла а, для которого справедлива формула (2.25). [c.468] Пусть в слое толщиной 2А имеется разрез радиуса а в срединной ПЛОСКОСТИ 2 = 0, нагруженный лишь нормальными давлениями, одинаковыми с разных сторон. Полагаем, что границы слоя свободны от напряжений. Таким образом, плоскость 2 = 0 является плоскостью симметрии. [c.468] Поскольку D нашем случае t а и р а, то р i, что и доказывает справедливость нашего утверждения. [c.471] Вернуться к основной статье