ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Задачи для тел с разрезами (общин случай) из "Методы математической теории упругости " Изложенное выше показывает, что контактные задачи (а также задачи теории упругости для тел с разрезами, см. 8) могут быть сведены к сингулярным интегральным уравнениям, решение которых в свою очередь можно свести к краевой задаче Римана. Однако в некоторых частных случаях удается свести проблему сразу к краевой задаче Римана [38]. [c.416] Из соотношений (7.2) следует, что если на некотором участке действительной оси выполняется условие 1тФ+( )=0, то функция ф(г) является аналитическим продолжением функции ф(г) в область 0 и наоборот. [c.417] Разумеется, само определение напряжений в той или иной точке 2 потребует определения функции Ф(г) также и в сопряженной точке. [c.418] Поскольку на системе дуг L правые части определяются производными от заданных смещений, то фактически краевая задача поставлена для случая, когда смещения штампов заданы с точностью до поступательного перемещения, определяемого в ходе решения всей задачи из дополнительных условий, связанных с приложенными ус]1лиями. Величина моментов определяется после нахождения распределения давления. [c.419] Здесь Р - 2)—ПОЛИНОМ степени не выше п — 1, содержащий п комплексных постоянных с/, а / (/) есть значения, которые принимает слева однозначная в плоскости с системой разрезов Р функция Х г), которая удовлетворяет условию г Х г)- 1 при 2 —оо. [c.420] Решение (7.15) является наиболее общим, когда во всех концевых точках допускаются неограниченные (но, естественно, интегрируемые) особенности. Решение содержит произвольные постоянные С/. [c.420] Перейдем к их определению. Для совокупности штампов рассмотрим две постановки задач. В первом случае перемещение штампов осуществляется независимо и дополнительными условиями для определения постоянных служат величины главных векторов усилий, приложенных к каждому штампу. Во втором же случае известна лишь величина суммарного главного вектора усилий. [c.420] Изложенные выше результаты позволяют рассмотреть случай, когда напряжения в концевых точках полагаются ограниченными. Условие ограниченности напряжений оказывается эквивалентным условию их равенства нулю (если f(i) принадлежит классу Г. — Л.). Выражение для контактного давления можно получить аналогично формуле (7.15 ) или же (что эквивалентно) исходя непосредственно из (7.15), но введя дополнительные ограничения на выражение У (г). При этом задача окажется переопределенной и для ее разрешимости следует положить ) неизвестным также положение точек п/ и Ь/. [c.421] Перейдем теперь к рассмотрению задачи о вдавливании системы гладких штампов (при отсутствии трения). В этом случае также считаем, что на системе дуг М выполняется первое из условий (7.14). На системе же дуг L полагаем равными нулю касательные напряжения и считаем известными нормальные перемещения (возможно, с точностью до действительных постоянных), т. е. [c.421] Таким образом, на всей действительной оси оказывается равным нулю Тху. [c.421] В этом случае также допускаются две постановки задачи. В первом случае система штампов жестко соединена между собой и задано усилие Ру, приложенное ко всей системе, во втором же случае допускаются независимые перемещения каждого штампа и задаются усилия Рук, приложенные к каждому штампу. [c.421] Остановимся теперь на задаче о контакте двух упругих полуплоскостей с разными характеристиками. Данная схема может служить основой для рассмотрения контакта двух тел достаточно произвольной конфигурации, когда величина площадки контакта мала по сравнению с размерами тел. В этом елучае надлежит независимо воспользоваться решением для каждой полуплоскости и из условия равенства контактных напряжений и смещений на границе сформулировать краевую задачу Римана. В результате, как и в общем проетранственном случае, придем фактически к задаче о жестком штампе на полуплоекости, когда профиль штампа будет определенным образом зависеть от профилей каждого из упругих тел и их упругих постоянных. [c.423] Определение постоянных, входящих в общее решение, осуществляется из условия однозначности смещений при обходе каждого из разрезов. [c.424] Заметим, что метод сопряжения удается эффективно использовать при решении контактных задач, когда упругое тело ограничено дугой окружности, и задач, когда разрезы располагаются вдоль дуги одной окружности. В этом случае продолжением функции посредством сопряжения является функция Ф(1/г). [c.424] В заключение этого параграфа приведем конкретные примеры, иллюстрирующие метод сопряжения. [c.424] Заметим, что асимптотика выражений для контактных давлений, как и следовало ожидать, совпадает с той, которая получается с использованием решения трансцендентного уравнения (9.37) гл. III, соответствующего клину угла я, когда на одной стороне заданы смещения, а на другой — напряжения. [c.425] Отметим, что контактные напряжения при приближении к концевым точкам неограниченное число раз меняют знак, стремясь к бесконечности, но сама осциллирующая зона крайне мала и составляет 0,0003 от длины штампа. [c.425] Ниже дадим вывод сингулярного уравнения, соответствующего поставленной задаче, на основе использования вспомогательной функции (o(i), введенной в 6 при решении задач для тел с натягом. [c.428] Эти функции представляют собой (с точностью до множителя 2р) величину скачка вектора смещений, в связи с чем они должны обращаться в нуль в концевых точках. [c.428] Вернуться к основной статье