ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Применение интеграла типа Коши. Решение в рядах из "Методы математической теории упругости " Это уравнение принадлежит классу уравнений Фредгольма. Проведем исследование этого уравнения, которое сводится к установлению условий разрешимости, а также к доказательству того факта, что любое его решение (функция ф(Д) должно представлять собой краевое значение функции, аналитической в области о+. [c.379] ТО ОНИ ДОЛЖНЫ обращаться в нуль на бесконечности. Следовательно, функции Ф(г ) и V (г ) тождественно равны нулю. Из условия же обращения в нуль функции Ф(г ) при г е D будет следовать, что функции р(/) есть краевое значение функции, аналитической в Ь+, что и требовалось доказать. [c.380] Таким образом, получаем, что любое рещение уравнения (3.4 ) при выполнении условия (2.23 ) обращает в нуль все добавки (3.6) и, следовательно, является решением исходного уравнения (3.4). [c.381] Последний этап рассуждений заключается в доказательстве того, что уравнение (3.4) является разрешимым при любой правой части. Допустим, что однородное уравнение имеет нетривиальное решение обозначим его через ф Поскольку правая часть обращается в нуль, то автоматически выполняется условие (2.23 ) и поэтому функция ф, должна быть решением и однородного уравнения (3.4) и, следовательно, она должна совпадать с фо(0- Подставляя же эту функцию в (3.6), получаем из условия обращения в нуль каждого слагаемого, что постоянные аир равны нулю. [c.381] Таким образом, доказано, что однородное уравнение (3.4 ) не имеет нетривиальных рещений и поэтому неоднородное уравнение разрешимо при произвольной правой части и, в частности, при условии (2.23 ). В последнем же случае решение уравнения (3.4 ) будет являться также и решением уравнения (3.4), что и доказывает разрешимость последнего. [c.381] Очевидно, что численная реализация уравнения Мусхелиш-вили затруднительна из-за того, что уравнение расположено на спектре. В частности, при решении методом механических квадратур получаются вырожденные системы. В [45] отмечается, что при той или иной реализации целесообразно сохранять добавки (кб) или (3.10). Из-за погрешности квадратурных формул эти добавки не будут, вообще говоря, обращаться в нуль, и поэтому они внесут некоторую (малую) погрешность. Однако при этом полностью устраняются указанные выше затруднения вычислительного порядка. [c.382] Тогда соотнощение (3.15) становится интегральным уравнением с полностью определенными членами. [c.383] Покажем, что любое решение этого уравнения обращает в нуль коэффициент Ьо, если выполняется условие равенства нулю главного момента сил, приложенных к телу. При отсутствии контура 0 это условие может не выполняться, но и тогда нет соответствующего слагаемого. [c.383] Отсюда следует, что функции ф (() и ф (/) являются краевыми значениями функций, аналитических в областях и Оа, причем ф (оо) = о и ф (оо) = 0. [c.384] Теперь же из условий, что6/ = с =0 (см. (3.14) и (3.17)), будет следовать, что и а/ = Р/=0. Поэтому шо(0 = 0- Полученное и доказывает разрешимость уравнения (3.15) (с учетом (3.17)) при равенстве нулю главного вектор-момента внешних сил. [c.385] Выше в 1 было показано, что при решении задач кручения п изгиба, сводящихся к гармоническим проблемам, применение аппарата конформных отображений сразу же позволяет в принципе получить решение в форме некоторого интеграла (интеграла Шварца), причем, если отображающая функция — рациональная, то решение строится в явном виде. При рассмотрении же плоской задачи и задачи изгиба пластин, сводящихся к би-гармонической проблеме, дело обстоит гораздо сложнее. Применение конформных отображений позволяет получить эффективные результаты лишь в случае, когда отображающая функция является дробно-рациональной. Ограничимся для простоты случаем, когда отображающая функция — рациональная. [c.386] Следуя [38], воздействуем на обе части уравнения оператором Кощи при 1 1 1. Поскольку функция ф( ) аналитична в области 51 1, то по интегральной теореме Коши получаем, что интеграл от первого слагаемого восстанавливает функцию ф( ). [c.387] Рассмотрим теперь третье слагаемое. Функция ф((т) есть функция, сопряженная к ф(сг), являющейся краевым значением функции, аналитической в области П+. Покажем, что эта функция ф(а) является краевым значением функции, аналитической в области 0 , откуда сразу будет следовать, что интеграл обращается в нуль. [c.387] Коэффициенты 6п определяются элементарно (будет показано в дальнейшем, что для решения задачи необходимо лишь определение первых п+ 1 коэффициентов). [c.388] Аналогично предыдущему можно показать, что функция q/(a) есть краевое значение функции ф (1Д), являющейся аналитической в области 1 1 1. [c.388] Найдя коэффициенты а/, определяем коэффициенты /( , что дает возможность трактовать теперь равенство (4.10) как точное решение для функции ф( ) (после того, как перенесены все слагаемые с коэффициентами К в правую часть). [c.390] Заметим, что посредством определенного усложнения рассуждений удается получить решение, когда отображающая функция является дробно-рациональной. [c.390] Прежде чем перейти к вопросу о применении аппарата конформных отображений к решению задач теории упругости для полубесконечных областей (т. е. для областей, ограниченных разомкнутым контуром), сделаем несколько предварительных замечаний относительно допускаемой конфигурации границ и ограничений на краевые условия. [c.391] Очевидно, что при П = 0 необходимо потребовать дополнительно, чтобы Рх = Ру == 0. [c.392] Вернуться к основной статье