ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Кручение стержней полигонального поперечного сечения из "Методы математической теории упругости " В 10 гл. I было показано, что решение задачи Дирихле для шара может быть получено методом разделения переменных с привлечением присоединенных сферических функций. Если же вспомнить, что в 5 гл. III было установлено, что решение пер вой основной задачи теории упругости для шара может быть сведено к трем задачам Дирихле, то появляется возможность непосредственно реализовать метод разделения переменных и для решения задач теории упругости (рассуждения в случае второй основной задачи аналогичны, но более громоздки). Применим метод разделения переменных с использованием представлений Папковича — Нейбера при решении задачи для шара. Первоначально найдем решение осесимметричной задачи, которое позволит построить функцию Грина уже для произвольного случая нагружения. [c.333] Здесь фг и фе— проекции вектора ф на оси г и 0. [c.333] Используя (1.6) и (1.7), можно получить выражения для смещений и напряжений внутри шара в весьма компактной форме. Таким образом, произвольным значениям постоянных Л и В будут соответствовать частные решения, которые можно использовать для решения осесимметричной краевой задачи для шара. [c.334] Можно воспроизвести аналогичные рассуждения при п отрицательном. Получаемый при этом результат может быть установлен, если в предыдущих построениях заменить ц на —(п+ 1). При этом следует иметь в виду тождество Р-(ге-н) = Рп- Оно следует из того, что уравнение для полиномов Лежандра определяется числом ( - -1) и, следовательно, инвариантно относительно замены п = —(п-)-1). Полученные частные решения можно использовать при решении осесимметричных задач для пространства с шаровой полостью. [c.334] Обозначим через Кп и Ln, М и Nt выражения, стоящие в квадратных скобках в представлениях для смещений щ и в и напряжений о, и т,д на границе, т. е. при гR (знаки + и — указывают на внутреннюю и внешнюю задачи соответственно). [c.336] После определения этих величин следует перейти к восстановлению интересующих нас коэффициентов /4 , В , С и 0 . [c.336] Коэффициент же В не присутствует в решении (он был ранее введен формально для единообразия записи выражений (1.8) и (1.9)). Может оказаться, что из-за по1 решности в вычислениях МТ и М условие (1.19) не будет выполняться строго, но это обстоятельство не должно быть основанием для того, чтобы отказаться от использования формулы (1.20) в ее первой или второй редакции. [c.337] Это выражение отлично от нуля при л = 0, 1,2,. .. [c.337] Присутствующие в (1.25) постоянные Р, Q, 8 и Т зависят только от коэффициента Пуассона и находятся элементарно. [c.339] К (к) — эллиптический интеграл первого рода. [c.340] Таким образом, решение задачи теории упругости получено в явном виде. [c.340] Применим метод разделения переменных к решению задач для кругового конуса (0 г сю, 0 0 а, —я ф я). Будем исходить, естественно, из сферической системы координат, в которых система уравнений (4.4) гл. II допускает разделение переменных. Будем исходить лишь из достаточно частного класса решений, когда все смещения пропорциональны 1/г и, кроме того, смещения щ и ив пропорциональны os пф, а Мф — — sin пф (п — произвольное целое, неотрицательное число). [c.341] Заметим, что это решение еовпадает с решением (6.29) и (6.30) ГЛ. III для сосредоточенной силы в проетранстве, если последнее преобразовать к сферической системе координат. Сила Рг приложена в начале координат и направлена вдоль оси 2. [c.342] Это решение соответствует силе Рх, приложенной в начале координат в направлении оси х. [c.342] Положив в предыдущих формулах а = я/2, придем к задаче для полупространства (ее решение (6.24) и (6.25) было дано в 6 ГЛ. III в декартовых координатах). [c.344] Естественно, что при а — я/2 приходим к задаче, когда к граничной точке полупространства приложена сосредоточенная касательная сила. [c.344] Явно просматриваемый дефект этого решения состоит в том, что при некотором а (лг0,714л) знаменатель обращается в нуль. Подробно это решение анализируется в 2 гл. VI. [c.345] Как уже отмечалось, метод разделения переменных является эффективным, когда область в соответствующей криволинейной системе координат представляет собой параллелепипед (или прямоугольник). Однако возможно применение этого метода и в том случае. А, , когда область есть объединение областей такого вида [4]. Изложим этот метод на л примере задачи о кручении призматического стержня в форме уголка (рис. 31). [c.345] Заметим, что свободные члены системы уравнений ограничены и стремятся к нулю. [c.349] Таким образом, можно утверждать, что решение укороченных систем в пределе приведет к решению бесконечной системы. [c.349] Вернуться к основной статье