ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Поведение решения в окрестности нерегулярной границы из "Методы математической теории упругости " Кривизны поверхности видоизмененные краевые условия будут иметь разрыв в производных, что по-прежнему будет приводить к неограниченности напряжений ) (разумеется, меньшего порядка, чем в случае сосредоточенной силы). Конечно, определение этих напряжений численными методами затруднительно, но это и не всегда требуется для практических расчетов, поскольку в исходной задаче уже осуществлен переход к сосредоточенной силе (а это и делает излишним точный анализ напряженного состояния в окрестности особой точки). Если же суперпозиция осуществляется за счет решения для сосредоточенной силы, приложенной к криволинейной поверхности (с теми же радиусами кривизны), то получается регулярное решение. [c.303] Чисто математический подход к задачам теории упругости приводит к необходимости рассматривать решения для таких абстрактных (но часто употребляемых в математической физике) областей, которые имеют неограниченную протяженность (как-то пространство с полостями, где ограничивающие поверхности являются замкнутыми), а также для областей, ограниченных простирающимися в бесконечность поверхностями (например, полупространство). Уже обращалось внимание на специфические особенности, возникающие при решении задач для этих областей (например, в 1 говорилось о теореме единственности для подобных областей). [c.303] Рассмотрим один пример, вызывавший довольно долго противоречивые мнения [76]. Ставилась задача о расчете напряжений в треугольнике (плоская задача), когда на одной грани приложено нормальное давление, пропорциональное расстоянию до угловой точки, на другой грани —равные нулю напряжения, а третья грань была закреплена ). Вместо нее решалась задача для клина, когда одна грань свободна от нагрузки, а на другой грани нормальная нагрузка пропорциональна расстоянию до вершины (т. е. условия истинной задачи переносились на клин, а граница, где были заданы смещения, отодвигалась в беско-I нечность). Такая задача элементарно решается методом разделения переменных. Однако полученное решение даже вблизи от вершины является ошибочным. Было дано разъяснение [96] и показано, что для такой области, как клин (при угле, большем некоторого), вследствие неединственности решения малые вариации краевых условий могут вызвать сколь угодно большие изменения в напряжениях. Более того, оказалось, что решение задачи для клина, когда на одной его грани приложена указанная нагрузка вплоть до некоторой точки, а дальше равна нулю при стремлении этой точки к бесконечности, не приводит к тому решению, которое получается методом разделения переменных. [c.304] Из теории эллиптических уравнений (а к таковым принадлежат уравнения Ламе) известно, что решение является бесконечно дифференцируемой функцией во всех внутренних точках, если этим свойством обладает и правая часть. Более того, если потребовать, чтобы сама граничная поверхность была бесконечно дифференцируемой, краевые условия обладали достаточной гладкостью и, что очень важно, их характер не был различным на разных участках поверхности, то решение будет бесконечно дифференцируемым вплоть до граничной поверхности. Естественно, что при нарушении этих условий есть основания полагать, что решение в граничных точках будет обладать особенностью (например, его производная может оказаться неограниченной и т. д.). [c.305] Наиболее просто решается вопрос в том случае, когда особенность решения обусловлена структурой краевых условий (например, когда какая-либо линия является линией разрыва краевых условий в напряжениях или когда приложена сосредоточенная сила или сосредоточенный момент). В этом случае особенность в решении возникает, даже если само уравнение граничной поверхности будет бесконечно дифференцируемой функцией. Приведем менее тривиальный пример. Допустим, что в плоском случае в окрестности неко орой точки граничный контур представим в виде двух дуг, пересекающихся под прямым углом. На одной стороне задано постоянное касательное напряжение, на другой оно тождественно равно нулю. Краевые условия здесь подобраны так, чтобы в угловой точке нарушался закон парности касательных напряжений. Естественно, что предположения, при которых закон парности выводился (имеется в виду дифференцируемость напряжений, о чем см. 1 гл. II), здесь не выполняются, что и приводит к неограниченности производных от смещений. [c.305] Заметим, что особенности такого рода, как правило, могут быть устранены наложением некоторых частных решений, выражаемых в явной форме. Допустим, например, что в какой-либо точке гладкого участка границы приложена сосредоточенная сила. Тогда, прежде чем перейти к построению решения, нужно вычесть напряжения, даваемые решением Буссинеска (см. 5). Для вспомогательной задачи получится достаточно гладкое краевое условие (если участок плоский, то условия будут однородными). [c.305] Представляется естественным к точкам, в которых нарушается регулярность решения, относить и те точки, в которых происходит изменение характера краевых условий (даже, если сама граница гладкая). Указанные особенности нельзя выявить заранее, однако весьма важные сведения могут быть все же получены. В работе [122], относящейся к поведению решения общих эллиптических краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы, установлены следующие результаты. Показано, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда и бесконечного дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного или плоского угла и типа краевых условий). В ряде случаев (они далее будут подробно рассмотрены) построение этих решений сводится к трансцендентным уравнениям. Величины же коэффициентов при них зависят от задачи в целом. [c.306] Следует заметить, что из получаемого множества решений однородных краевых задач следует исключить решения, приводящие к неограниченности энергии. Можно при этом исходить из того соображения, что в случае сглаживания особенности ) энергия конечна и поэтому при переходе к нерегулярной поверхности физический смысл имеют лишь те решения, при которых ограниченность энергии сохраняется. В процессе проведения численной реализации наибольший интерес вызывает то слагаемое, которое (после отсечения решений с неограниченной энергией) содержит наиболее сильную особенность для производных и, следовательно, больше всего затрудняет реализацию расчетной схемы. Слагаемые же, дифференцируемые более одного раза, практически не влияют на реализацию, и нет нужды в их предварительном выявлении. Что касается вопроса о вычислении постоянных множителей, то он будет рассмотрен несколько позднее. [c.306] Полученная форма уравнений (8.5) — (8.7) свидетельствует о том, что задача разбивается на две задачи — плоскую деформацию, описываемую уравнениями (8.5) и (8.6), и антиплоскую, описываемую уравнением (8.7). [c.308] Можно показать (и это будет сделано в дальнейшем), что в дифференциальном уравнении (уже с постоянными коэффициентами) нужно удерживать лишь главные члены, поскольку остальные и, в частности, свободный член не влияют на структуру особенности. [c.309] Из сказанного следует, что изучение особенностей надо производить на простейших областях — клиньях и конусах. [c.309] При п четном Л = о, а при п нечетном В = 0. [c.309] Не составляет труда рассмотреть теперь условия смешанного вида, когда, например, при 0 = а сама функция равна нулю, а при 0 = —а равна нулю нормальная производная. Таким образом, с учетом изложенного можно утверждать, что решение гармонических задач (при достаточно гладких краевых условиях) для областей при наличии угловой точки с углом раствора 2а я представляется всегда в виде дифференцируемой всюду функции. Если же 2а я, то возникает нерегулярное слагаемое вида (8.15) или (8.16). [c.310] Покажем теперь, что появление в уравнении (8.8) иных слагаемых меньшего порядка не влияет на характер особенности. Допустим, что рассматривается уравнение Пуассона. Тогда после подстановки (8.9) получаем, что дополнительное слагаемое содержит множитель вида и, следовательно, перестает влиять на решение при достаточно малом г. [c.310] Представляет интерес путь непосредственного выделения (до решения задачи) постоянных Ау и Ву. Естественно, если соответствующие слагаемые известны, то следует преобразовать должным образом краевое условие, что благоприятно скажется на построении оставшегося решения. Изложим один подход к этой проблеме [81]. [c.311] Рассматривается область (рис. [c.311] В том же случае, когда на прямолинейных участках границы нормальная производная отлична от нуля, интегралы по ним не обратятся в нуль и они также могут быть вычислены (подынтегральное выралсение равно произведению заданных значений нормальной производной на значение функции ф). При этом соответственно в правой части (8.19) появится дополнительное слагаемое. [c.312] Заметим, что разработан метод определения указанных коэффициентов для общего случая эллиптических краевых задач [154, 155]. Для них получены явные интегральные представления, в которые входят исходные краевые условия и некоторые специальные решения вспомогательной однородной краевой задачи. Указанные решения зависят только от конфигурации области и характера краевых условий. Они определяются однозначно главными членами своей асимптотики и так же, как функции (8.17), имеют особенность в нерегулярной точке границы. Реализация этого метода представляется особенно эффективной тогда, когда требуется для одной и той же области решить совокупность однотипных краевых задач, поскольку потребуется лишь один раз решать вспомогательную задачу. В [162] приведены примеры, иллюстрирующие применение метода в задачах теории упругости. [c.312] Заметим, что в [75] приведено исследование уравнения (8.34) и предложены рекомендации по численному нахождению действительных и комплексных корней. Описанный случай будем называть случаем II—II. [c.315] Вернуться к основной статье