ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы О некоторых специальных представлениях (общих решениях) в теории упругости из "Методы математической теории упругости " Заметим, что постановка задач изгиба кусочно-однородных стержней существенно упрощается, когда коэффициенты Пуассона совпадают. Построение теории основывается на представлении смещений в виде (3.22) или (3.30) с последующим восстановлением выражений для напряжений. При рассмотрении же общего случая оказывается необходимым дополнительно рассматривать плоскую задачу (см. 4). [c.273] Рассмотрим некоторые частные состояния равновесия упругих тел, когда реализуется такое напряженное и деформированное состояние, которое зависит в декартовой системе лишь от двух координат, например от л и у. [c.273] Таким образом, сформулированная в начале параграфа частная задача, которая называется задачей о плоской деформации (поскольку плоскости Z = onst не перемещаются в ходе деформирования), сводится к решению лишь уравнений (4.4) и (4.7). [c.274] Отсюда следует, что Ох + Оу — Ах Ву С, т. е. речь может идти лишь о весьма специфических задачах, не представляющих общего интереса. [c.275] однако, смысл изучить эту задачу в несколько иной, приближенной постановке. Рассмотрим цилиндр высоты 2А (или слой с цилиндрической полостью) и выберем систему координат таким образом, чтобы плоскость 2 = 0 являлась срединной плоскостью. Будем считать, что на торцах напряжения aл v, и aгv (совпадающие с Тхг, Хуг и Ог) обращаются в нуль. На боковой же поверхности приложены равномерно распределенные по высоте напряжения Охч, o /v (напряжения Ог обращаются в нул.ь). Из изложенного выше следует, что нельзя получить точное решение этой задачи, положив напряжения Ххг, Хуг и Ог тождественно равными нулю в области. [c.275] Большой теоретический и практический интерес представляет приближенная постановка указанной задачи, когда толщина 2/1 мала по сравнению с каким-либо характерным линейным размером тела. При этом оказывается излишней точная постановка и, следовательно, точное выполнение краевых условий на боковой поверхности. Потребуем лишь равенства нулю проекции на ось 2 усредненных внешних сил, а также моментов на оси X я у (что приводит к постановке краевых условий в смысле Сен-Венана). [c.275] Поскольку тело достаточно тонкое (будем далее называть его в этом случае пластинкой), то можно предположить, что все напряжения будут незначительно меняться по толщине. Это предположение справедливо также и в отношении смещений и и V. [c.275] Воспользуемся теперь (4.13) при преобразовании выражения для Ох и Оу . [c.276] Таким образом, из изложенного следует, что уравнения равновесия, уравнения совместности деформаций в напряжениях для плоской деформации и обобщенного плоского напряженного состояния совпадают между собой (в последнем случае понимаются усредненные значения напряжений). Такую же структуру (отличающуюся лишь постоянными) имеют и соотношения, связывающие деформации и напряжения. Следовательно, эти задачи в математическом отношении аналогичны друг другу. [c.277] О постановке задач плоского напряженного состояния уже говорилось выше. Задачи же плоской деформации возникают при рассмотрении тел, ограниченных цилиндрической поверхностью, когда краевые условия на цилиндрической части постоянны вдоль образующей, причем компонента (7гv равна нулю. Если тело (цилиндр или пространство с цилиндрической полостью) ограничено, то на плоских сторонах могут быть заданы условия смешанного типа, а именно, нормальные перемещения и касательные компоненты напряжений равны нулю. Если же попытаться подобрать на этих поверхностях соответствующие напряжения 0г, то следует первоначально решить задачу плоской деформации бесконечного цилиндра и, получив значения Ог (согласно (4.3)), задать их как краевые условия. Само собой разумеется, что касательные компоненты напряжений по-прежнему обращаются в нуль. [c.277] Ввиду того, что задачи о плоской деформации и плоском напряженном состоянии оказываются двумерными, уместно все построения проводить лишь в одном сечении. Поэтому далее всегда будет использоваться для граничной поверхности термин контур , а область обозначаться через 5. [c.277] Постановка краевых условий в смещениях и напряжениях ПОЛНОСТЬЮ совпадает с постановкой в общей пространственной задаче с учетом того, что нормаль к боковой поверхности перпендикулярна оси Z (что приводит к упрощению формул (1.17) ГЛ. И). [c.278] Это уравнение называется бигармоническим уравнением. Ввиду обратимости всех рассуждений имеем основание сделать следующее заключение каждой бигармонической функции соответствует поле напряжений, удовлетворяющее уравнениям упругого равновесия. [c.278] Интегрируя выражения (4.23) соответственно по ас и по у, получим выражения для смещений ). [c.279] Таким образом, если решается вторая основная задача теории упругости для области, ограниченной некоторым контуром, то следует определить в области бигармоническую функцию, удовлетворяющую предельным условиям (4.24). Однако оказывается полезным преобразовать эти условия, для чего проинтегрируем (4.24) по дуге. Тогда придем к значениям производных функции Эйри по л и г/, что позволяет определить производные по нормали н касательной к контуру. Интегрируя же производную по касательной вдоль дуги еще раз, придем к значению самой функции. В результате получаем традиционную постановку так называемой бигармонической проблемы определение бигармонической функции по ее значению и значению ее нормальной производной ). [c.279] При выводе (4.29) некоторые слагаемые в силу гипотезы плоских сечений отбрасывались. [c.281] Если же одну из сторон ориентировать под произвольным углом к ОСЯМ координат, то получим (в соответствии с формулами (1.14) и (1.15) гл. И) выражения для изгибающего момента Мп, крутящего момента Мпх и перерезывающей силы Qn . [c.282] Не составляет труда, воспользовавшись (4.30), получить представление для введенных величин непосредственно через производные от хю. [c.282] Это уравнение называется уравнением Софи Жермен. [c.282] Таким образом, решение задачи изгиба пластинок сводится к определению в области, совпадающей с ее сечением, некоторого частного решения неоднородного бигармонического уравнения и общего решения уже однородного уравнения. [c.282] Вернуться к основной статье