ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Постановка пространственных задач. Существование решения, единственность и корректность из "Методы математической теории упругости " В предыдущей главе были получены основные дифференциальные уравнения, описывающие поведение упругих сред при деформировании, а также найдены выражения для краевых значений вектора напряжений посредством компонент тензора напряжений или смещений. Для рещения конкретных физических задач необходимо теперь перейти к корректной математической постановке краевых и начальных задач теории упругости. [c.242] Заметим, что рассмотрение этих задач (как и вообще задач для сред произвольной реологии) может проводиться в двух принципиально различных направлениях. В одном случае рассматриваются уравнения Ламе (4.4) гл. II и их обобщения на случай динамики и периодических колебаний. Здесь приходится решать систему дифференциальных уравнений для трех компонент вектора смещений, исходя из краевых условий на сами смещения или определенные комбинации их производных (тогда говорят, что задача решается в смещениях). В другом же случае исходят из уравнений движения (1.11) гл. II и уравнений совместности деформаций в напряжениях (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) гл. II и аналогичных им уравнений, если используются системы координат, отличные от декартовых. В этом случае подлежат определению шесть компонент тензора напряжений из девяти дифференциальных уравнений (говорят, что здесь решается задача в напряжениях). Отметим, что в этом случае возникают дополнительные трудности, когда па границе заданы смещения, поскольку их восстановление по напряжениям весьма громоздко. [c.242] К сожалению, для общей постановки пространственных начально-граничных задач теории упругости в настоящий момент отсутствуют исчерпывающие результаты, относящиеся к вопросу о необходимых и достаточных условиях, обеспечивающих существование и единственность решения в зависимости от класса допускаемых краевых условий и ограничений на граничную поверхность. Однако существуют и иные (неклассические, обобщенные) постановки задач теории упругости, определяемые тем математическим аппаратом, который применяется для их решения ). [c.243] Например, при решении задач теории упругости вариационными методами осуществляется переход к задаче об определении в некотором классе функций минимума соответствующего функционала. Доказывается, что решение этой задачи всегда существует и соответствующее ему поле смещений удовлетворяет дифференциальным уравнениям, однако краевые условия выполняются уже в некотором обобщенном смысле. Аналогичная ситуация возникает и при решении задач теории упругости методом потенциалов. При определенных ограничениях на форму поверхности и краевые условия доказывается, что получаемое посредством соответствующих интегральных уравнений решение краевой задачи может и не удовлетворять условиям, требуемым классической постановкой. Лишь при более строгих ограничениях (в чем, по сути дела, нет необходимости) решение оказывается регулярным. [c.243] Сделаем еще два общих замечания. Первое состоит в том, что, исходя из физического смысла задач, когда, например, на границе заданы напряжения, краевые условия следовало бы сносить на деформированную поверхность. Однако это чрезвычайно усложняет решение, приводя во многих случаях к незначительному эффекту в результатах из-за принятого в этой теории основополагающего условия малости деформаций. Поэтому будем всюду краевые условия задавать на поверхности, которую имело тело при отсутствии деформаций. Заметим, однако, что в последнее время широко изучался специальный класс задач (с сохранением условия малости деформаций), когда учитывается изменение области, занимаемой упругим телом (тело с разрезом, увеличивающимся в процессе деформирования). [c.243] МОЖНО определять через его проекции различным образом— можно проектировать его на фиксированные оси координат, а можно проектировать и на нормаль и каеательную плоскость к граничной поверхности и т. д. Здесь следует учитывать, с одной стороны, простоту описания краевой задачи, а с другой стороны, удобство при решении, что, естественно, определяется теми методами, которые предполагается использовать. [c.244] В этом параграфе при формулировке краевых и начальных условий не будут вводиться ограничения математического характера на задаваемые функции. Дело в том что необходимая для разрешимости соответствующих задач та или иная степень их гладкости в основном определяется математическими методами, используемыми при решении. Применение методов теории потенциала, например, приводит к тому, что краевые значения смещений или напряжений должны принадлежать классу Г. — Л. [c.244] Отметим также, что при рассмотрении задач для областей, ограниченных кусочно-гладкими поверхностями, а также задач, когда характер условий может меняться скачком, формально получаемое решение может оказаться неоднозначным и тогда в постановку задачи необходимо вводить условие ограниченности энергии упругого деформирования (для обеспечения единственности решения). Подробнее этот вопрос будет рассматриваться в дальнейшем. [c.245] Входящие в правые части функции (/= 1—4) должны быть известны (это, собственно, главное в постановке задачи). При этом необходимо, чтобы имело место их согласование (например, чтобы Fl(p)=Fз(p). [c.245] Естественно, что при наличии нескольких граничных поверхностей необходимо потребовать лишь самоуравновешенности нагрузок в целом, а не для каждой поверхности. [c.246] Интересно отметить, что в ряде работ изучались краевые задачи, лишенные физического смысла, — задавалось значение так называемого Л -оператора от смещений. Постановка таких задач была связана с необходимостью изучить интегральные уравнения, сопряженные к некоторым интегральным уравнениям, соответствующим первой основной задаче. [c.247] Остановимся на вопросе о геометрических свойствах граничных поверхностей. Наиболее полные результаты, относящиеся к проблеме разрешимости краевых задач, получены для случая гладких поверхностей. Однако сама их постановка возможна, когда граничная поверхность разбивается на конечное число гладких поверхностей (с общими краями — угловыми линиями). В этом случае краевые условия задаются во внутренних точках каждой из поверхностей. [c.247] Отметим еще класс вырожденных задач, когда в упругом теле имеются разрезы, представляющие собой поверхности с краем или полностью погруженные в тело, или на отдельных участках выходящие на границу. На сторонах разреза задаются независимо значения смещений или напряжений. При этом следует различать два случая. В первом из них в ходе деформирования происходит полное раскрытие разрезов и постановка задачи не требует коррекции. Во втором же случае на отдельных участках происходит лишь частичное раскрытие, и поэтому фактическая поверхность разрезов становится неизвестной. Естественно, что в этом случае для полной постановки задачи требуется вводить определенные условия взаимодействия контактирующих поверхностей. [c.247] Эквивалентная задача вoзникaeтJ когда рассматривается гладкая поверхность, разделенная гладкими контурами (эти контуры могут быть и угловыми линиями) на отдельные участки так, что на каждом из участков задано свое краевое условие. Задачи такого рода называются смешанными ). Заметим, что в этом случае чаще краевые условия в смещениях ставятся с точностью до жесткого смещения и тогда необходимо задавать соответствующие суммарные силовые характеристики. [c.247] Предположим, что поверхность, ограничивающая жесткое тело (или упругое тело), является кусочно-гладкой. Тогда площадка контакта может увеличиваться в размерах лишь в пределах гладкого участка вплоть до угловых линий. Следовательно, при достаточной величине сжимающего усилия площадка контакта становится известной, что и приводит к сформулированной выше смешанной задаче. Естественно, что напряжения в точках площадки контакта, располагающихся на угловых линиях могут быть неограниченными. [c.248] Заметим, что во всех случаях, за исключением лишь полного сцепления, следует помнить о том, что контактное давление всегда должно быть сжимающим. В противном случае имеет место образование полости между упругим и жестким телами, что приводит к достаточно очевидным видоизменениям в формулировке задачи. [c.248] Такого рода задачи называются задачами с ограничениями. Таким образом, на всей поверхности, ограничивающей полупространство, или задана нормальная компонента смещений (согласно (1.8)), или же в формулировке задачи должно присутствовать ограничение (неравенство (1.10)). При этом на участке Si также должно выполняться условие Ог 0. [c.249] При этом знак равенства имеет место на поверхности 5ь а знак неравенства — на поверхности S2. [c.249] Достаточно очевидным является перенесение изложенных положений на случай контакта упругих тел. [c.249] Укажем, что ряд используемых методов теории колебаний связан с раздельным решением этих уравнений. [c.250] Вернуться к основной статье