ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Закон Гука из "Методы математической теории упругости " Для окончательного построения связной теории деформирования сплошной среды после введения понятия напряженного и деформированного состояния необходимо, сообразуясь с определенной моделью, установить соотношения между тензором деформаций и тензором напряжений. [c.216] Теория упругости базируется на идеализированной модели упругой сплошной среды, которая характеризуется тем, что любое тело, состоящее из такой гипотетической среды, после снятия нагрузки полностью восстанавливает свою первоначальную форму. В процессе деформирования в теле накапливается определенный запас энергии, возможно изменение температуры и других параметров, характеризующих состояние изучаемого объекта. Подойдем к описанию этих явлений с позиций первого и второго законов термодинамики. [c.216] Здесь отсутствуют члены нулевого порядка, поскольку предполагается, что в недеформированном состоянии напряжения- отсутствуют. Представления (3.15) составляют основное содержание закона Гука, Как следует из изложенного выше, постоянные сц, определяемые экспериментально, могут быть различны в зависимости от процесса деформирования. [c.219] Таким образом, из термодинамических соображений вытекает, что число коэффициентов, характеризующих деформированное состояние упругой среды в линейной гуковской постановке, равно 21. [c.220] Таким образом, упругий потенциал представляет собой однородную функцию второй степени относительно компонент деформации. Заметим, что закон Гука можно было бы а рг1ог1 определить как такое соотношение между напряжениями и деформациями, при котором упругий потенциал представляет собой однородную квадратичную функцию. [c.220] Если отнести элементарную работу к единице объема, то получим формулу, совпадающую с дифференциалом упругого потенциала. [c.220] Выражение (3.23) называется формулой Клапейрона. [c.221] Вообразим теперь, что в одном и том же элементарном объеме созданы два различных напряженных и деформированных состояния, характеризуемые напряжениями и деформациями . - Уху и а , . т , е .у . [c.221] Выше при выводе закона Гука нами рассматривался самый общий случай, который и приводит к 21 упругой постоянной, характеризующей деформированное состояние среды. [c.222] Таким образом, в выражении для упругого потенциала сохраняются лишь девять постоянных. [c.222] Таким образом, остаются лишь три упругие постоянные. [c.222] Легко показать, что повороты относительно других осей приведут к такому же условию. [c.223] Здесь введены постоянные Е = р(ЗХ + 2р) /(X -f р), V = = Х/2(Х + р), называемые модулем упругости (или модулем Юнга) и коэффициентом Пуассона. [c.224] Из пропорциональности деформаций сдвига и касательных напряжений следует совпадение главных осей тензоров напряжений Та и деформаций Т . Поскольку при преобразовании осей координат как для тензора напряжений, так и для тензора деформаций матрица перехода одна и та же, то уравнения (3.30) оказываются инвариантными относительно выбора направления осей. [c.224] Приведем без вывода аналогичные (3.30) соотношения для закона Гука в произвольных криволинейных ортогональных координатах а, р, у. [c.224] Таким образом, множитель V наглядно устанавливает связь между изменением размеров в продольном направлении и изменением размеров в поперечном направлении. [c.225] Вернуться к основной статье