ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Теория деформаций из "Методы математической теории упругости " Дадим одну наглядную трактовку величинам р, и (йд. Если провести в теле октаэдрическую площадку, равнонаклоненную к главным осям, то нормальная компонента вектора напряжения, действующего на площадку, будет равна р, а касательная — д/2/3 ТДрис. 14). Угол шо равен острому углу между направлением третьей главной оси и направлением, определяемым напряжениемд/2/8 Т . [c.205] По тем или иным причинам (под воздействием приложенных сил, при измепенни температуры, под воздействием электрического или магнитного поля, из-за фазовых превращений и т. п.) в теле происходит изменение расстояния между отдельными точками. Изучение геометрических закономерностей этого процесса и составляет основное содержание теории дефор.мации сплошной среды. [c.205] В дальнейшем будем, однако, накладывать на смещения более сильные ограничения и требовать, чтобы они имели и непрерывные производные вплоть до определенного порядка (в отдельных случаях — до третьего). [c.206] Будем называть эту величину деформацией сдвига и обозначать через Основанием для такого названия служит следующее соображение. Рассмотрим такую деформацию, когда лищь одна компонента смещения отлична от нуля. Тогда прямоугольник (в соответствующей плоскости) перейдет в параллелепипед, который поворотом координат можно совместить с одной из осей. При этом становится очевидным, что деформация сводится к сдвигу слоев. [c.208] Шесть величин Ех, Еу, Вг, Уху, ух2 и у 2, введенных еще Коши, носят название компонент деформации. Значения этих величин определяются тем, что, задав их в какой-либо точке, можно посредством определенных построений получить как удлинение в произвольном направлении, так и изменение угла между двумя заданными направлениями, в частности, ортогональными. [c.208] Следовательно, задав направляющие косинусы, получаем согласно (2.8) требуемое относительное удлинение. [c.208] 10) следует, что компоненты деформаций представляют собой компоненты симметричного тензора второго ранга, в силу чего в дальнейщем, как правило, будем говорить о тензоре деформаций и обозначать его Т . [c.209] Таким образом, концы этих отрезков оказываются расположенными на поверхности второго порядка. Знак в правой части выбирается таким образом, чтобы поверхность была вещественной. Поверхность деформаций может быть эллипсоидом, если все элементы сжаты или растянуты. В другом случае, когда вдоль одних направлений элементы сжаты, а вдоль других растянуты, поверхность представляет собой однополостный и дву-полостный гиперболоиды. Асимптотический конус, являющийся поверхностью раздела, соответствует направлениям, вдоль которых удлинение равно нулю. [c.210] Будем называть главными осями тензора деформаций те оси, в которых реализуется главный вид квадратичной формы (2.13). Естественно, что тогда деформация сдвига обращается в нуль. Удлинение вдоль главных осей будем называть главным удлинением, а так как поверхность деформаций есть поверхность второго порядка, то главные удлинения являются экстремальными. [c.210] Как выше отмечалось, на направлениях главных осей деформация сдвига обращается в нуль. Можно показать (так же, как и для тензора напряжений), что экстремальные деформации сдвига действуют на площадках, проходящих через одну главную ось и делящих угол между оставщимися осями пополам. При этом их величины равны разности между соответствующими главными деформациями. Отметим, что вдоль направления нормалей к этим площадкам относительное удлинение равно полусумме главных деформаций. [c.212] Заметим, что величина Еокт оказывается равной удлинению вдоль направления нормали к октаэдрической площадке. [c.212] Выше говорилось, что в окрестности той или иной точки заданы перемещения и, V, w п посредством их дифференцирования определялись шесть компонент тензора деформаций. [c.212] Соотношения (2.26) — (2.28) называют условиями совместности деформаций Сен-Венана. Покажем, что эти условия являются необходимыми и достаточными условиями интегрируемости соотношений Коши и представляют полную возможность восстановления по деформациям поля смещений. [c.213] Для производных от (Оу и й2 получаются уравнения аналогичной структуры. [c.214] Для многосвязных областей необходимо еще выполнение условий равенства нулю того же интеграла (2.34) при обходе по всем контурам, которые не могут быть стянуты ц точку, без выхода из рассматриваемой области. [c.215] Поясним сказанное на следующем примере. Пусть имеется область типа тора, в котором произведем сечение, переводящее многосвязную область в односвязную, раздвинем берега разреза и вставим в образовавшееся пространство клин. Само собой разумеется, что при переходе через разрез смещения будут терпеть разрыв. [c.215] Вернуться к основной статье