ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Метод конечных разностей из "Методы математической теории упругости " Одним из универсальных методов решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей (см., например, [6]). Он заключается в следующем. Область непрерывного изменения аргумента заменяется конечной совокупностью точек (узлов), называемых сеткой, сами же функции, рассматриваемые в этих точках, называются сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия (если они дифференциальные), заменяются теми или иными разностными соотношениями. Тогда для значений функций в узловых точках получается система алгебраических уравнений. [c.172] При реализации метода конечных разностей необходимо, чтобы полученная алгебраическая система (она линейна, если дифференциальное уравнение и краевое условие линейны) была разрешима и при увеличении числа узлов ее решение приближалось к точным значениям искомой функции в узловых точках. При всем этом требуется, естественно, чтобы решение полученной системы было устойчивым. [c.172] правая и центральная разностные производные построены по. значениям функции в двух узлах, производная (14.5)—по значениям в трех узлах. Совокупность узлов, фигурирующих в разностном выражении того или иного дифференциального оператора, называется его шаблоном. [c.173] При решении краевых задач, естественно, возникает вопрос о разностной аппроксимации краевых условий. Допустим, что решается краевая задача для некоторой области, которая заменяется совокупностью узлов (среди них будут такие, которые окажутся расположенными на границе области и за ее пределами). Оставшиеся узлы делятся на две группы, называемые регулярными и нерегулярными. К первой относятся такие узлы, для которых образованные шаблоны будут состоять только из внутренних узлов, ко второй группе — остальные. В нерегулярных узлах следует получить разностные соотношения, приближенно эквивалентные краевым условиям. Наиболее простой и. [c.173] С учетом всего сказанного для краевой задачи получается система алгебраических уравнений. В связи с этим возникают вопросы о разрешимости и устойчивости системы, степени близости приближенного решения к точному в зависимости от размеров шага сетки. Поскольку системы оказываются весьма высокого порядка, то становится важным также и вопрос о методах эффективного их решения. [c.174] Эти условия обеспечивают выполнение принципа максимума. [c.174] Следовательно, получаем погрешность первого порядка. [c.176] Здесь суммы модулей коэффициентов (при достаточно малых А и I все они положительны) меньше единицы. Если же в граничных узлах краевые условия определять посредством линейной экстраполяции, то получаем еще уравнение (14.6), в котором сумма модулей коэффициентов также меньше единицы. Система (14.16) оказывается вполне регулярной (о чем речь пойдет в следующем параграфе). [c.177] Установим теперь погрешность самого решения в зависимости от шагов сетки hui. Раньше была установлена погрешность замены дифференциального уравнения разностным и погрешность разностной аппроксимации краевого условия. [c.177] Решение этой системы будем искать в виде суммы двух сеточных функций ,7 и г]ц, определяемых следующим образом. Функция тщ удовлетворяет однородному уравнению /тщ = О во внутренних точках и принимает значения е,,- в граничных точках. Функция же ,7, наоборот, удовлетворяет неоднородному уравнению (14.17) и однородным краевым условиям. [c.177] Покажем, что тогда неравенство (14.20) распространяется на всю область. [c.178] Тогда в силу принципа максимума (минимума) функции Уц—и,/ и У а + v достигают своего минимума в граничных точках и в них они неотрицательны. Следовательно, они неотрицательны всюду, что и приводит к тому же неравенству (14.20), но уже во всей области. [c.178] Неравенство вида (14.20) также имеет место, поскольку в граничных узлах hi = о, а функция Wa 0. [c.178] В случае, если перенесение краевых условий в граничные узлы осуществляется с помощью экстраполяции, первое слагаемое в (14.25) также имеет второй порядок, а тогда и погрещ-ность будет иметь второй порядок. [c.179] Таким образом, из неравенства (14.25) следует, что с уменьшением размеров шага сетки решение будет сходиться к точному. Более того, погрешность в задании краевого условия и правой части не приведет к неустойчивости процесса, поскольку сама задача корректна и вследствие (14.25) эта погрешность приведет к соответствующим изменениям в коэффициентах, входящих в правую часть оценки. [c.179] Остановимся на вопросе о фактическом определении погрешности, когда установлен лишь порядок погрешности ). Дело в том, что приводимые выше оценки содержат постоянные, сами подлежащие определению из решения задачи. [c.179] Тогда решение системы разностных уравнений, включающих в себя разностное представление условия (14.28) и условие (14.29), не встретит затруднения. Разумеется, для общности, к полученному решению следует добавить произвольную постоянную. [c.180] Нетрудно заметить, что при решении уравнений гиперболического типа методом сеток основное значение приобретает параметр а. Действительно, зная решение в узлах двух рядов на участке ограниченной протяженности, можно определить решение в третьем ряде в меньшем (на единицу с каждой стороны) числе узлов — таким образом удается заполнить узлы в треугольной области. С другой стороны, известно, что для волнового уравнения область влияния есть треугольник со сторонами, наклоненными к осям под углами л/4 (что соответствует а=1). Поэтому условие а 1 (называемое условием Куранта) есть необходимое условие сходимости последовательности (lim h, 1- 0) приближенных решений к точному. [c.181] Вернуться к основной статье