ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Вариационно-разностные схемы. Метод конечных элементов (МКЭ) из "Методы математической теории упругости " Это выражение имеет смысл и положительно, даже если функция и не удовлетворяет условию (11.49). Следовательно, условие (11.49) — естественное условие. [c.135] Отметим правило, позволяющее сразу устанавливать вид краевых условий. Пусть оператор есть дифференциальный оператор порядка 2г. Тогда краевые условия, содержащие производные порядка г и выше, будут естественными, если же не выше порядка г— 1 — то главными. [c.135] Мы вернемся еще к вопросу о классификации и делению условий на главные и естественные при рассмотрении вариационных методов, поскольку это существенно для способа их реализации и, кроме того, дает непосредственный прием для установления вида краевых условий. [c.135] Имеет место и обратный результат элемент гильбертова пространства, минимизирующий функционал (12.2), является решением уравнения (12.1). [c.136] Функция л (2 — х) (не принадлежащая области О а) функционалу меньшее значение, а поэтому краевые и(0) = н(1) = О являются главными условиями. [c.137] Изложенное позволяет предложить следующий способ определения вида краевых условий — главных или естественных, когда задача имеет вариационную трактовку. Для этого следует, построив соответствующий функционал, выяснить, имеет ли он смысл для более щирокого класса функций, и тогда известными методами вариационного исчисления определить экстремальную функцию. Если эта функция будет удовлетворять первоначально заданным условиям, то тогда они — естественные. [c.138] Этот ряд сходится в энергетической метрике и, следовательно, в метрике исходного пространства. [c.139] Тогда функция ц/(р) называется обобщенной производной функции и по аргументу д , Vj = дu/дx/). Заметим, что обобщенная производная совпадает с обычной, если функция дифференцируема. [c.140] Аналогичное утверждение верно и для энергетического пространства оператора Неймана. [c.140] Следовательно, минимум функционала существует и достигается на элементе vo Можно доказать, что обобщенное решение задачи Дирихле является функцией, гармонической в области П. [c.144] Из формулы (12.42) вытекает, что определение наименьщего собственного числа сводится к определению минимума функционала (Аи,и)/(и,и) (или минимума функционала (Аи,и) на множестве функций с единичной нормой). Функция же uo, на которой достигается минимум, и будет собственной функцией. Последующие собственные числа можно определять также посредством функционала (12.42), при этом требуется уже знать все предыдущие собственные числа и соответствующие им собственные функции. Допустим, что п первых собственных чисел определено. Тогда (л -)- U собственное число определяется как минимум функционала (12.42) на множестве функций, ортогональных всем п первым собственным функциям. [c.145] При определенных условиях (когда в пространстве Яд всякое ограниченное множество элементов компактно в Н) имеется бесконечная последовательность собственных чисел, причем соответствующие собственные функции образуют полную последовательность как в Я, так и в Яд. [c.145] Сказанное позволяет находить приближенные решения уравнения (12.1) методами (которые принято называть прямыми). [c.145] Условие равенства нулю производных, вообще говоря, есть лишь условие экстремальности, однако из-за положительной определенности оператора А следует, что здесь имеет место минимум. Очевидно, что с ростом числа членов ряда (12.45) погрешность решения (в смысле энергетической нормы) не увеличивается, но имеет место, конечно, гораздо более сильный результат погрешность стремится к нулю, поскольку процесс Ритца является процессом построения минимизирующей последовательности. [c.147] При этом отрезок ряда по Ритцу совпадает с отрезком ряда Фурье, а система (12.46) принимает диагональный вид. [c.148] Для каждого из корней выполняется равенство Я,/= ). [c.149] Следовательно, минимум функционала (Аи, и) достигается при минимальном значении которое обозначим через Ял. [c.149] Проследим теперь, как меняется этот минимум при увеличении числа п. [c.149] В последние годы стала широко применяться так называемая вариационно-разностная модификация метода Ритца (более употребительное название — метод конечных элементов (МКЭ)). Этот вопрос специально освещается в 13 этой главы. [c.150] Вернуться к основной статье