ПОИСК Статьи Чертежи Таблицы Общие замечания о резонансных явлениях в колебательных систеСвойства активных систем и параметрическая регенерация из "Основы теории колебаний " 5 были описаны основы метода медленно меняющихся амплитуд применительно к анализу автономных слабо нелинейных систем с малым затуханием. Там же были даны примеры применения этого метода для исследования свободных колебаний в некоторых нелинейных системах. Однако исходные положения, на которых основана возможность получения упрощающих задачу укороченных уравнений, допускают также применение этого метода к случаю систем, находящихся под внешним воздействием. [c.119] Если на колебательную систему, близкую к линейной консервативной, действует периодическая сила с частотой, существенно отличной от собственной частоты колебаний системы, то эта сила вызовет вынужденное колебание с частотой внешней силы и с амплитудой, в основном определяемой различием между частотой воздействия и собственной частотой системы. [c.120] Это уравнение при Р = 0 допускает только одно стационарное решение Х1 = 0, так как при этом исходная система должна находиться в покое. При РфО уравнение (3.6.3) можно рассматривать как уравнение, описывающее колебательную систему с вынужденными колебаниями и амплитудами порядка р и периодом 2л/р, взаимодействующими с собственными колебаниями вследствие нелинейности системы. Вопрос же о существовании стационарных собственных колебаний требует дополнительного исследования, так как в этом случае система, вообще говоря, претерпевает периодическое (с частотой, кратной р) изменение энергоемких параметров, что может при выполнении определенных частотных соот-нощений привести к эффектам параметрического вложения энергии. При этом предполагается, что амплитуда воздействующей силы Р не ограничена условием малости подобно силам сопротивления и силам, связанным с нелинейными свойствами системы, которые имеют порядок малости р. [c.120] Если частотные и энергетические соотношения, обусловливающие параметрическое вложение энергии в систему, не выполняются, то для р, достаточно отличающегося от Ыц, движение в рассматриваемой системе будет в основном зависеть от вынужденных процессов, описываемых вторым членом соотношения (3.6.2). [c.120] В отличие от описанного пути нахождения методом медленно меняющихся амплитуд приближенного решения уравнения (3.3.1), мы для упомянутого ранее случая существенного различия между р и (UQ (т. е. области, далекой от резонанса) должны поступить несколько иначе. [c.122] Вводя через подстановку (3.6.2) новую переменную соответствующую колебанию с частотой, близкой к собственной частоте системы ( a i=i uo), мы, применяя метод медленно меняющихся амплитуд, должны искать для Xj решение с частотой pin (случай р = п(и) или тр (случай р = ш/т) и соответственно вводить новый масштаб времени x = (pln)t = at или x = mpt = at. [c.122] Когда uIq близко к тр, мы будем определять амплитуду колебания с частотой, соответствующей т-щ обертону воздействующей силы, а когда (Hgf p/n, речь будет идти об отыскании возможных унтертонов, или субгармоник. Если же не представляется возможным подобрать такое т или п, чтобы расстройка удовлетворяла выбранному критерию малости, то тогда описываемый путь решения теряет смысл. В этом случае наиболее вероятно, что искомое установившееся решение будет с большой степенью точности описываться вторым членом в правой части (3.6.2). [c.122] Исследование укороченных уравнений для описанных случаев проводится теми же приемами, что и для автономных систем. [c.122] Соответствующие семейства резонансных кривых показаны на рис. 3.28 пунктирными линиями. Как мы видим, резонансные кривые для контура с нелинейным затуханием уплощаются в области расстроек, близких к нулю. Это изменение тем больше, чем больше резонансная амплитуда. Вдали от области малых расстроек резонансные кривые линейного и нелинейного контуров практически совпадают. Однако следует иметь в виду, что эти кривые нигде не пересекаются и резонансная кривая нелинейного контура при V О даже вдали от резонансной частоты всегда расположена ниже резонансной кривой линейного контура. [c.124] Однако полученные выше укороченные уравнения позволяют найти не только стационарные ам.плитуду и фазу вынужденного колебания, но в принципе и закон установления стационарного процесса путем интегрирования системы укороченных уравнений (3.6.10). В этом, в частности, заключается большая эффективность метода ММА по сравнению с методом гармонического приближения, дающего в принципе только стационарные значения амплитуд. [c.124] Подобная простейшая полиномиальная аппроксимация кривой намагничения, естественно, может удовлетворительно передавать ее реальный ход лишь в определенном ограниченном интервале значений 1. Поэтому, прежде чем обсуждать полученные результаты, необходимо убедиться, что найденные значения амплитуды тока не выходят за те пределы, в которых применима выбранная аппроксимация. [c.124] Правая часть этого уравнения периодична с периодом 2л/р и мала по сравнению с членами, стоящими в левой его части. Поэтому при частоте р, далекой от о, вынужденное колебание в решении уравнения (3.6.10) будет иметь амплитуду по крайней мере того же порядка малости, что и члены с у и 26. Исключения соответствуют случаям, когда тр = q. Тогда высшие гармонические компоненты в правой части уравнения (3.6.15) могут вызвать резонансные эффекты. В этих случаях можно ожидать появления вынужденных колебаний с конечными амплитудами на частотах тр, т. е. работы подобной системы как умножителя частоты. [c.125] Довольно очевидно, что относительная интенсивность этих гармонических компонент будет определяться видом нелинейной характеристики системы и для выбранной аппроксимации будет прямо задаваться видом аппроксимирующей функции. [c.126] При кубической аппроксимации появится лишь третий обертон, и резонансные эффекты могут возникать лишь при Шц, близкой к Зр, т. е. в этом случае исследуемая система будет работать в качестве утроителя частоты. [c.126] Использование больших участков нелинейной характеристики привело бы к необходимости введения в аппроксимирующий полином членов с более высокими степенями, и тогда имели бы место отчетливо выраженные резонансные эф( екты для т = 5, 7 и т. д. При этом антисимметрия характеристики намагничения соответствует присутствию в аппроксимирующем полиноме лишь нечетных степеней и, следовательно, возможны резонансные процессы только на нечетных гармониках воздействующей силы. Эти же свойства нелинейной характеристики приводят к тому, что в результате появления в системе вынужденных колебаний с частотой р возникает периодическое изменение ее индуктивности с частотой 2р. [c.126] В правой части уравнения (3.6.16) следует ограничиться членами первого порядка малости относительно единицы, и поэтому член у хЧ нужно записать в виде = — уМ sin (т + 0) os (т + 0), пренебрегая членами, содержащими Л и 0, так как в силу медленности Л(т) и 6(т) справедливы условия А А, в в. [c.126] Стационарную амплитуду вынужденных колебаний А можно найти из решения системы (3.6.17) при условии, что Л = 0,6 = 0, т. е. [c.127] Очевидно, что при достаточно малой амплитуде внешнего воздействия и других соотношениях между параметрами у и многозначности может и не быть, и тогда возникает ли нь некоторая несимметрия резонансной кривой за счет нелинейных свойств системы, что уже было показано в 3.5 (см. рис. 3.25). [c.128] Для некоторой совокупности параметров колебательной системы действительная часть Я может быть положительной, и тогда система уйдет из этого стационарного состояния для другой совокупности параметров она может быть отрицательной, и тогда вынужденное колебание с такой амплитудой А будет устойчивым. [c.128] До сих пор мы рассматривали колебательные системы, в которых происходили либо свободные колебания, определяемые начальными условиями, либо чисто вынужденные, возникающие под действием внешней силы, приложенной к колебательной системе. Для электрических систем это соответствовало введению в изучаемый контур вынуждающей э. д. с. или введению заданного тока в какой-либо элемент цепи. [c.129] Вернуться к основной статье